Характеристика (алгебра)

В математиці, характеристикою кільця$\ R,$ позначається $\operatorname{char} R ,$ називається найменше ціле додатне $\ n$, для якого виконується:

$\underbrace{1+\cdots+1}_{n \text{ summands}} = 0$

Тобто сума $\ n$ мультиплікативних нейтральних елементів кільця дорівнює адитивному нейтральному елементу кільця.

Якщо таке $\ n$ не існує, тоді $\ R$ називається кільцем характеристики 0.

Приклади

• Характеристики кільця цілих чисел $\Z$, поля раціональних чисел $\Q$, поля дійсних чисел $\R$, поля комплексних чисел $\C$ рівні нулю.
• Характеристика кільця лишків $\Z/n\Z$ рівна $\ n$.
• Характеристика скінченного поля $\mathbb{F}_{p^m}$, де $\ p$ - просте число, $\ m$ - додатне ціле число, рівна $\ p$.

Властивості

• Якщо кільце $\ R \neq \{0\}$ з одиницею і без дільників нуля має додатну характеристику $n$, то $n$ - просте число. Отже, характеристика будь-якого поля $K$ є або $0$, або просте число $p$. У першому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне полю раціональних чисел $\Q$, у другому випадку поле $K$ містить як підполе поле ізоморфне $\mathbb{F}_p$. У обох випадках це підполе називається простым полем (що міститься в $K$).
• Характеристикою скінченного поля є просте число. Натомість з того, що характеристика поля скінченна, не випливає, що поле скінченне. Прикладами таких полів є поле раціональних функцій над $\mathbb{F}_p$ і замикання, алгебри поля $\mathbb{F}_p$.
• Якщо $\ R$ - комутативне кільце простої характеристики $\ p$, то $(a + b)^{p^n} = a^{p^n} + b^{p^n}$ для всех $a, b \in R$, $n \in \N$.

Література

• Лидл Р., Нидеррайтер Г. Конечные поля: В 2-х т. Т. 1. Пер. с англ. — М.: Мир, 1988.
• Кострикин А. И. Введение в алгебру. — М.: Наука, 1977.
• Глухов М. М., Елизаров В. П., Нечаев А. А. Алгебра: Учебник. В 2-х т. Т. 2. — М.: Гелиос АРВ, 2003.