Характеристична функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік характеристичної функції двовимірної підмножини квадрата.

Характеристична функція (індикаторна функція, індикатор) підмножини A \subseteq Xфункція, визначена на множині  X, яка визначає належність елемента  x \in X підмножині A.

Термін характеристична функція в теорії ймовірностей використовується в іншому значенні (див. Характеристична функція випадкової величини).

Тому в теорії ймовірностей описана в цій статті функція називається індикаторною функцією.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай A\subseteq X — деяка підмножина довільної множини X. Функція \mathbf{1}_A:X\to\{0,1\}, визначена таким чином:

\mathbf{1}_A(x) = 
\left\{\begin{matrix} 
1, &x \in A, \\
0, &x \notin A,
\end{matrix}\right.

називається характеристичною функцією або індикатором множини A.

Альтернативними позначеннями індикатора множини A є: \chi_A\, або \mathbf{I}_A, а іноді навіть \ A(x). Нотація Айверсона дозволяє позначення [x \in A].

(Грецька літера \ \chi походить від початкової букви грецького написання слова характеристика.)

Замітка. Позначення \mathbf{1}_A може означати тотожну функцію.

Основні властивості[ред.ред. код]

Відображення, яке пов'язує підмножину A \subseteq X з його індикатором \mathbf{1}_A є ін'єкцією. Якщо A і B — дві підмножини X \ , то

\mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \mathbf{1}_B,
\mathbf{1}_{A\triangle B} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - 2(\mathbf{1}_{A\cap B}),
\mathbf{1}_{A^c} = 1-\mathbf{1}_A.

Більш загально, припустимо A_1,\ldots, A_n — множина підмножин X. Ясно, що для довільного x \in X

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))

— добуток нулів і одиниць. Цей добуток приймає значення 1 для тих x \in X, які не належать жодній множині A_k і 0 в іншому випадку. Тому

 \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.

Розкладаючи ліву частину, одержуємо

 \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \ldots, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k},

де |F|потужність F. Це одна з форм запису принципу включення-виключення. Отже індикатор — корисне позначення в комбінаториці, яке використовується також і в інших областях, наприклад в теорії ймовірностей: якщо Xймовірнісний простір з ймовірнісною мірою \mathbf{P}, а Aвимірна множина, то індикатор \mathbf{1}_A стає випадковою величиною величиною, чиє математичне очікування рівне ймовірності A:

E(\mathbf{1}_A)= \int\limits_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\mathbf{P} = \int\limits_{A} d\mathbf{P} = \mathbf{P}(A).\quad

Варіація і коваріація для цієї випадкової змінної визначаються за формулами:

\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A))
 \operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B)

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Folland, G.B.; Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, 2nd ed, John Wiley & Sons, Inc., 1999.
  • Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest, and Clifford Stein. Introduction to Algorithms, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 5.2: Indicator random variables, pp.94–99.