Характеристичний поліном

Характеристичний поліном квадратної матриці $\ A$ розміру $\ n\times n$ — це многочлен степені $\ n$ від змінної $\ \lambda,$ який дорівнює

$\ p_A(\lambda)=\det( A-I_n\lambda)$, де $I_n$ — одинична матриця порядку $n$.

Мотивація

Скаляр $\lambda$ є власним значенням матриці A для власного вектора $\mathbf{v}$ тоді і тільки тоді коли:

$A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},\,$

чи

$(\lambda I_n - A)\mathbf{v} = 0\,$

Оскільки $\mathbf{v} \neq 0,$ то $(\lambda I_n - A)$ повинна бути виродженою, а отже:

$\det(\lambda I_n-A) = 0$.

Властивості

• Неважко переконатися, що

$p_A(\lambda)=\lambda^n-\operatorname{tr} A\lambda^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det A$

• Характеристичні поліноми подібних матриць збігаються:

$\ p_{B^{-1} A B}(\lambda)=p_A(\lambda)$

• Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:

$\ p_{BA}(\lambda)=p_{AB}(\lambda)$

• Характеристичний поліном від самої матриці дорівнює нульовій матриці (теорема Гамільтона — Келі):

$\ p_{A}(A)=0.$

Характеристичне рівняння

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння

$\ p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A) = 0$

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці $A.$

Тільки вони є власними значеннями матриці $A.$

Див. також

• Визначник матриці
• Слід матриці

Джерела

• Гантмахер Ф. Р. (1967). Теория матриц (вид. друге). Москва: Наука. с. 576. 
• Гельфанд И.М. (1971). Лекции по линейной алгебре (вид. четверте). Москва: Наука. с. 271. ISBN 5791300158.