Характеристичний поліном

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Характеристичний поліном квадратної матриці \ A розміру \ n\times n — це многочлен степені \ n від змінної \ \lambda, який дорівнює

\ p_A(\lambda)=\det( A-I_n\lambda), де I_nодинична матриця порядку n.

Мотивація[ред.ред. код]

Скаляр \lambda є власним значенням матриці A для власного вектора \mathbf{v} тоді і тільки тоді коли:

A \mathbf{v} = \lambda \mathbf{v},\,

чи

(\lambda I_n - A)\mathbf{v} = 0\,

Оскільки \mathbf{v} \neq 0, то (\lambda I_n - A) повинна бути виродженою, а отже:

\det(\lambda I_n-A) = 0.

Властивості[ред.ред. код]

  • Неважко переконатися, що
p_A(\lambda)=\lambda^n-\operatorname{tr} A\lambda^{n-1}+\ldots+(-1)^n\det A
\ p_{B^{-1} A B}(\lambda)=p_A(\lambda)
  • Характеристичні поліноми добутку квадратних матриць не залежать від порядку множників:
\ p_{BA}(\lambda)=p_{AB}(\lambda)
\ p_{A}(A)=0.

Характеристичне рівняння[ред.ред. код]

Характеристичним рівнянням (або секулярним рівнянням) називається рівняння

\ p_A(\lambda)=\det(\lambda I_n-A) = 0

Корені характеристичного полінома називаються характеристичними числами матриці A.

Тільки вони є власними значеннями матриці A.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]