Характер представлення групи

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В теорії груп характером представлення групи називають функцію від елементів групи, значення якої для кожного елемента групи рівне сліду відповідної матриці.

Характер подає важливу інформацію про представлення у досить компактній формі і тому можуть бути використані для вивчення її структури. Теорія характерів є важливим інструментом у класифікації простих скінченних груп.

Визначення[ред.ред. код]

Нехай V — скінченновимірний векторний простір над полем F і нехай ρ: G → GL (V) — представлення групи G на V. Характером представлення ρ називається функція χ ρ :GF →', визначена так:

\chi_{\rho}(g) = \mathrm{Tr}(\rho(g))\,

де \mathrm{Tr}слід матриці.

Характер χ ρ називається незвідним, якщо ρ є незвідним представленням. Ядром характера χ ρ називається множина:

\ker \chi_{\rho} := \left \lbrace g \in G \mid \chi_{\rho}(g) = \chi_{\rho}(1) \right \rbrace

де χ ρ (1) — значення χ ρ на одиничному елементі групи. Якщо ρ є представленням групи G розмірності k і 1 є одиницею групи G, то

\chi_{\rho}(1) = \operatorname{Tr}(\rho(1)) = \operatorname{Tr} \begin{bmatrix}1 & & 0\\ & \ddots & \\ 0 & & 1\end{bmatrix} = \sum_{i = 1}^k 1 = k = \dim \rho.

Властивості[ред.ред. код]

  • Значення характеру є незмінними на усіх елементах довільного класу суміжності групи.
  • Ізоморфні представлення мають однакові характери. Над полем характеристики 0, уявлень є ізоморфні, якщо і тільки якщо вони мають той же характер.
  • Якщо характер скінченної групи G розглядати на деякій підгрупі H, то результат буде характером H.
  • Кожне значення характеру \chi(g) є сумою n коренів з одиниці степеня m, де n є розмірністю векторного простору представлення з характером χ і m — порядок елемента g. Зокрема, коли F є полем комплексних чисел, кожне таке значення характеру є алгебраїчним числом.
  • Якщо F є полем комплексних чисел, і \chi є незвідним, то [G:C_G(x)]\frac{\chi(x)}{\chi(1)} є цілим алгебраїчним числом для кожного x в G.
  • Якщо поле F є алгебраїчно замкнутим та Char (F) не ділить | G |, то кількість незвідних характерівGрівна кількості класів суміжності групи G. Крім того, у цьому випадку степені незвідних характерів є дільниками порядку групи G.

Арифметичні властивості[ред.ред. код]

Нехай ρ і σ — представлення групи G. Тоді виконуються такі тотожності:

\chi_{\rho \oplus \sigma} = \chi_\rho + \chi_\sigma
\chi_{\rho \otimes \sigma} = \chi_\rho \cdot \chi_\sigma
\chi_{\rho^*} = \overline {\chi_\rho}
\chi_{{\scriptscriptstyle \rm{Alt}^2} \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ 
\left(\chi_\rho (g) \right)^2 - \chi_\rho (g^2) \right]
\chi_{{\scriptscriptstyle \rm{Sym}^2} \rho}(g) = \frac{1}{2} \left[ 
\left(\chi_\rho (g) \right)^2 + \chi_\rho (g^2) \right]

де \rho \oplus \sigma є прямою сумою, \rho \otimes \sigma є тензорним добутком, \rho^*\ позначає спряжене транспонування від ρ, Alt2 (ρ) = \rho \wedge \rho і

\rho \otimes \rho = \left(\rho \wedge \rho \right) \oplus \textrm{Sym}^2 \rho.

Таблиці характерів[ред.ред. код]

Усі незвідні характери можна подати за допомогою таблиці характерів, що містить багато корисної інформації про групу G в компактній формі. Кожен рядок, помічається деяким незвідним характером і в рядку записуються значення цього характеру для елементів класів суміжності G. Стовпці таблиці помічаються представниками класів суміжності G. Перший рядок зазвичай відповідає тривіальному характеру, а перший стовпець є класом суміжності одиниці. Елементами першого стовпця є значення незвідних характерів на одиниці, тобто розмірності характерів. Характери степеня 1 відомі як лінійні характери.

Нижче подана таблиця характерів циклічної групі з трьома елементами і генеруючим елементом U C_3 = \langle u \mid u^{3} = 1 \rangle:

  (1) (u) (u2)
1 1 1 1
χ1 1 ω ω2
χ2 1 ω2 ω

де ω є примітивним кубічним коренем з одиниці.

Таблиці характерів завжди є квадратними, тому що число незвідних неізоморфних представлень дорівнює кількості класів суміжності. У першому рядку таблиці характерів стоять одиничні елементи, і він відповідає тривіальному представленню (1-вимірне представлення, що кожному елементу групи ставить у відповідність матрицю 1 × 1, з елементом 1).

Співвідношення ортогональності[ред.ред. код]

На просторі комплекснозначних, незмінних на класах суміжності функцій скінченної групи G можна задати наступний скалярний добуток:

\left \langle \alpha, \beta\right \rangle := \frac{1}{ \left | G \right | }\sum_{g \in G} \alpha(g) \overline{\beta(g)}

де \overline{\beta(g)} означає комплексно-спряжене значення \beta на G. Відносно цього скалярного добутку, незвідні характери утворюють ортонормований базис в просторі функцій незмінних на класах суміжності, і це дає співвідношення ортогональності для рядків характерів таблицею:

\left \langle \chi_i, \chi_j \right \rangle  = \begin{cases} 0  & \mbox{ if } i \ne j, \\ 1 & \mbox{ if } i = j. \end{cases}

Для g, h \in G співвідношення ортогональності для стовпців, виглядає таким чином:

\sum_{\chi_i} \chi_i(g) \overline{\chi_i(h)} = \begin{cases} \left | C_G(g) \right |, & \mbox{ if } g, h \mbox{ are conjugate } \\ 0 & \mbox{ otherwise.}\end{cases}

де сума береться по всіх незвідних характерах \chi_i із G і символ \left | C_G(g) \right | позначає порядок централізаторів g.

Властивості таблиць характерів[ред.ред. код]

Деякі властивості группи G можуть бути виведені з її таблиці характерів:

  • Порядок G рівний сумі квадратів елементів першого стовпця (степенів незвідних характерів). Більш загально сума квадратів абсолютних значень елементів в будь-якому стовпці рівна порядку централізатора елементів відповідного класу сумужності.
  • Всі нормальні підгрупиG можуть бути визначені за допомогою таблиць характерів. Ядро харкактеру χ це множина елементівG, для яких χ (G) = χ (1); Ядро є нормальною підгрупою групи G. Кожна нормальна підгрупа G є перетином ядер деяких незвідних характерів G.
  • Комутант групи G є перетином ядер лінійних характерів G. Зокрема, група G є абелевою , якщо і тільки якщо всі її незвідні характери є лінійними.

Таблиці характерів в загальному не визначають групу з точністю до ізоморфізму: наприклад, група кватерніонів Q і дігедральна група з 8 елементів (D 4 ) мають однакові таблиці характерів.

Література[ред.ред. код]