Хвильова функція

Квантова механіка

$\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}$

Принцип невизначеності

Вступ · Історія Математичні основи Основа Класична механіка · Інтерференція · Бра-кет нотація · Гамільтоніан · Стара квантова теорія Фундаментальні поняття Вектор стану · Хвильова функція · Суперпозиція · Заплутаність · Вимірювання · Невизначеність · Виключення Паулі · Дуалізм · Декогеренція · Теорема Еренфеста · Тунелювання Експерименти Дослід Девіссона — Джермера · Дослід Штерна — Герлаха · Кіт Шредінгера · Дослід Поппера · Дослід Юнга · Перевірка нерівностей Белла · Фотоефект · Ефект Комптона · Ефект Рамзауера Формулювання Картина Шредінгера · Картина Гейзенберга · Картина взаємодії · Матрична квантова механіка · Інтеграл вздовж траєкторій Рівняння Рівняння Шредінгера · Рівняння Паулі · Рівняння Клейна — Гордона · Рівняння Дірака Інтерпретації Копенгагенська інтерпретація · Теорія прихованих параметрів · Багатосвітова Складні теми Квантова теорія поля · Квантова електродинаміка · Квантова хромодинаміка · Квантова гравітація · Теорія всього Наближені методи Квазікласичне наближення · Теорія збурень · Варіаційний метод Відомі науковці Планк · Ейнштейн · Шредінгер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паулі · Дірак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Еверетт

Хвильова функція, або псі-функція $\psi \,$ — комплекснозначна функція, що використовується в квантовій механіці для опису стану квантовомеханічної системи. Є коефіцієнтом розкладу вектору стану за базисом (зазвичай координатному):

$\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx$

де $\left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle$ — координатний базисний вектор, а $\Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle$ — хвильова функція у координатному представленні.

Опис квантової системи за допомогою функції, яка б описувала її хвильові властивості запропонував Ервін Шредінгер.

Інтерпретація

Макс Борн запропонував інтерпретувати хвильову функцію, як амплітуду ймовірності. В цій інтерпретації квадрат модуля хвильової функції відповідає густині ймовірності положення частинки. Таким чином, імовірність того, що частинка перебуває в області простору W в момент часу t визначається як

$\operatorname{P}(W) = \int \limits_W |\psi(\mathbf{r},t)|^2 dW. \quad$

де

$|\psi(x)|^2 = \psi^*(x) \psi(x) \quad$, а $\psi^*(x) \quad$ — функція, комплексно спряжена з $\psi(x) \quad$

При інтегруванні по всьому простору цей вираз, як імовірність цілком певної події, повинен давати одиницю:

$\int \limits_{\infty} |\psi(\mathbf{r},t)|^2 dV = 1. \quad$

Ця умова має назву умови нормування псі-функції.

Значення фізичних величин

Фізична величина, яка може визначатися в експерименті, у квантовій механіці задається певним ермітовим оператором. Знаючи хвильову функцію можна визначити середнє значення такої величини за допомогою правила

$\langle A \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi dV$,

де $\hat{A}$ — це квантовомеханічний оператор.

Вектор стану

Для опису елементарних частинок, які можуть мати відмінний від нуля спін, однокомпонентної, скалярної, хвильової функції недостатнью. Рух таких частинок задається сукупністю із кількох хвильових функції, яка має ширшу назву: вектор стану.

$\psi = \left( \begin{matrix} \psi_1 \\ \vdots \\ \psi_N \end{matrix}\right)$.

Наприклад, електрон зі спіном 1/2 описується сукупністю чотирьох хвильових функцій.

Незважаючи на слово «вектор», вектор стану не є справжнім вектором у просторі. Тут цей термін вживається радше в сенсі вектора лінійної алгебри. Щодо просторових властивостей, то при обертанні системи координат, вектор стану загалом може мати особливі властивості. Наприклад, вектор стану для електрона є спінором.

Зазвичай, сукупність кількох хвильових функцій, які входять до складу вектора стану, теж називають хвильовою функцією.

Властивості

Хвильова функція означена з точністю до довільного множника у формі $e^{i\alpha}$, де $\alpha$ - будь-яке дійсне число. Підстановка функції

$\psi^\prime = e^{i\alpha} \psi$

не міняє середніх значень спостережуваних фізичних величин.

Хвильова функція системи багатьох частинок

Хвильова функція квантової системи, що складається з кількох частинок, залежить від координат всіх частинок. Наприклад, для двох частинок $\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t)$. При визначенні середніх значень спостережуваних величин інтегрування проводиться у всьому конфігураційномі просторі. Наприклад, для двох частинок

$\langle A(t) \rangle = \int \psi^*(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) \hat{A} \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) dV_1 dV_2$,

У випадку тотожності частинок, на хвильову функцію накладається додаткова умова, пов'язана з інваріантністю щодо перестановок цих частинок, згідно з принципом нерозрізнюваності. Квантові частинки поділяються на два класи - ферміони й бозони. Для ферміонів

$\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) = -\psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1, t)$,

тобто хвильова функція міняє знак при перестановці частинок. Таку фунцію називають антисиметричною щодо перестановок. Для бозонів

$\psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) = \psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1, t)$,

тобто при перестановці частинок хвильова функція залишається незмінною. Таку функцію називають симетричною щодо перестановок.

Див. також

• Рівняння Шредінгера
• Рівняння Паулі
• Рівняння Дірака
• Матриця густини
• Локалізований стан
• Делокалізований стан
• Хвиля

Джерела

• Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К.: Знання, 2009. — 559 с.
• Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
• Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.