Хвильова функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Квантова механіка
\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2}
Принцип невизначеності
Вступ · Історія
Математичні основи

Хвильова функція, або псі-функція \psi \, — комплекснозначна функція, що використовується в квантовій механіці для опису стану квантовомеханічної системи. Є коефіцієнтом розкладу вектору стану за базисом (зазвичай координатному):

\left|\psi(t)\right\rangle=\int \Psi(x,t)\left|x\right\rangle dx

де \left|x\right\rangle = \left|x_1, x_2, \ldots , x_n\right\rangle — координатний базисний вектор, а \Psi(x,t)= \langle x\left|\psi(t)\right\rangle — хвильова функція у координатному представленні.

Опис квантової системи за допомогою функції, яка б описувала її хвильові властивості запропонував Ервін Шредінгер.

Інтерпретація[ред.ред. код]

Макс Борн запропонував інтерпретувати хвильову функцію, як амплітуду ймовірності. В цій інтерпретації квадрат модуля хвильової функції відповідає густині ймовірності положення частинки. Таким чином, імовірність того, що частинка перебуває в області простору W в момент часу t визначається як

 \operatorname{P}(W) = \int \limits_W |\psi(\mathbf{r},t)|^2 dW. \quad

де

 |\psi(x)|^2 = \psi^*(x) \psi(x) \quad , а  \psi^*(x) \quad — функція, комплексно спряжена з  \psi(x) \quad

При інтегруванні по всьому простору цей вираз, як імовірність цілком певної події, повинен давати одиницю:

 \int \limits_{\infty} |\psi(\mathbf{r},t)|^2 dV = 1. \quad

Ця умова має назву умови нормування псі-функції.

Значення фізичних величин[ред.ред. код]

Фізична величина, яка може визначатися в експерименті, у квантовій механіці задається певним ермітовим оператором. Знаючи хвильову функцію можна визначити середнє значення такої величини за допомогою правила

 \langle A \rangle = \int \psi^* \hat{A} \psi dV ,

де  \hat{A}  — це квантовомеханічний оператор.

Вектор стану[ред.ред. код]

Для опису елементарних частинок, які можуть мати відмінний від нуля спін, однокомпонентної, скалярної, хвильової функції недостатнью. Рух таких частинок задається сукупністю із кількох хвильових функції, яка має ширшу назву: вектор стану.

 \psi = \left( \begin{matrix} \psi_1 \\ \vdots \\ \psi_N \end{matrix}\right) .

Наприклад, електрон зі спіном 1/2 описується сукупністю чотирьох хвильових функцій.

Незважаючи на слово «вектор», вектор стану не є справжнім вектором у просторі. Тут цей термін вживається радше в сенсі вектора лінійної алгебри. Щодо просторових властивостей, то при обертанні системи координат, вектор стану загалом може мати особливі властивості. Наприклад, вектор стану для електрона є спінором.

Зазвичай, сукупність кількох хвильових функцій, які входять до складу вектора стану, теж називають хвильовою функцією.

Властивості[ред.ред. код]

Хвильова функція означена з точністю до довільного множника у формі  e^{i\alpha} , де  \alpha - будь-яке дійсне число. Підставляння функції

 \psi^\prime = e^{i\alpha} \psi

не міняє середніх значень спостережуваних фізичних величин.

Хвильова функція системи багатьох частинок[ред.ред. код]

Хвильова функція квантової системи, що складається з кількох частинок, залежить від координат всіх частинок. Наприклад, для двох частинок  \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) . При визначенні середніх значень спостережуваних величин інтегрування проводиться у всьому конфігураційному просторі. Наприклад, для двох частинок

 \langle A(t) \rangle = \int \psi^*(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) \hat{A} \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) dV_1 dV_2 ,

У випадку тотожності частинок, на хвильову функцію накладається додаткова умова, пов'язана з інваріантністю щодо перестановок цих частинок, згідно з принципом нерозрізненності. Квантові частинки поділяються на два класи - ферміони й бозони. Для ферміонів

 \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) =  -\psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1, t) ,

тобто хвильова функція міняє знак при перестановці частинок. Таку фунцію називають антисиметричною щодо перестановок. Для бозонів

 \psi(\mathbf{r}_1, \mathbf{r}_2, t) =  \psi(\mathbf{r}_2, \mathbf{r}_1, t) ,

тобто при перестановці частинок хвильова функція залишається незмінною. Таку функцію називають симетричною щодо перестановок.

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]

  • Білий М. У., Охріменко Б. А. Атомна фізика. — К.: Знання, 2009. — 559 с.
  • Федорченко А. М. Квантова механіка, термодинаміка і статистична фізика // Теоретична фізика. — К.: Вища школа, 1993. — Т. 2. — 415 с.
  • Юхновський І. Р. Основи квантової механіки. — К.: Либідь, 2002. — 392 с.