Хвильове рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Хвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівняння другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одномірному випадку хвильове рівняння записується.

$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0.$ ,

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

[ред.] Розв'язки

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвилю народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху, тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу

$u = u_0 \cos(kx - \omega t - \varphi)$ ,

де $u 0$ — амплітуда хвилі, k — хвильове число, ω — циклічна частота, $\varphi$ — фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням

$k = \frac{\omega}{s}$

[ред.] Інші типи хвильових рівнянь

Вільна частка описується у квантовій механіці рівнянням Шредінгера. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне.

Дисперсійне співвідношення у ньому зв'язує енергію частки із її хвильовим вектором.

У релятивістській квантовій механіці використовуються рівняння Дірака, рівняння Клейна-Гордона, тощо. Ці рівняння теж описують поширення хвиль, тож належать до групи хвильових рівнянь.

Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.

Хвильове рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

[ред.] Розв'язки

[ред.] Інші типи хвильових рівнянь

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами