Хвильове рівняння

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Хвильове́ рівня́ння — рівняння, яке описує розповсюдження хвиль у просторі.

Хвильове рівняння є зазвичай рівнянням другого порядку у часткових похідних гіперболічного типу, хоча існують хвильові рівняння інших порядків та інших типів.

У одновимірному випадку хвильове рівняння записується так:

 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{1}{s^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2} = 0,

де u — невідома функція, яка описує хвилю, x — просторова координата, t — час, s — фазова швидкість поширення хвилі.

Розв'язки[ред.ред. код]

Хвильові рівняння мають багато можливих розв'язків. Реалізація того чи іншого із них залежить від граничних та початкових умов: від того, як хвиля народилася, які перешкоди зустрічає на своєму шляху тощо.

Загальний розв'язок хвильового рівняння подається суперпозицією функцій типу

 u = u_0 \cos(kx - \omega t - \varphi),

де u_0  — амплітуда хвилі, k — хвильове число, ω — циклічна частота, \varphi  — фаза хвилі.

Хвильове число та частота зв'язані між собою дисперсійним співвідношенням

 k = \frac{\omega}{s}

Інші типи хвильових рівнянь[ред.ред. код]

Вільна частка описується у квантовій механіці рівнянням Шредінгера. Це рівняння параболічного типу, проте комплексне.

Дисперсійне співвідношення у ньому зв'язує енергію частки із її хвильовим вектором.

У релятивістській квантовій механіці використовуються рівняння Дірака, рівняння Клейна-Гордона тощо. Ці рівняння теж описують поширення хвиль, тож належать до групи хвильових рівнянь.


Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.