Хвіст ластівки (поверхня)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Хвіст ластівки (англ. swallow tail) — нерегулярна поверхня в тривимірному просторі, визначити яку можна декількома еквівалентними способами. Розглянемо многочлен P(x)=x^4+ax^2+bx+c від змінної x, що залежить від коефіцієнтів a,b,c (і змінна, і коефіцієнти передбачаються дійсними). Кожній трійці коефіцієнтів a,b,c однозначно відповідає многочлен P(x), а також точка в просторі з декартовими координатами (a,b,c). Тоді «хвіст ластівки» визначається як поверхня S в просторі з координатами (a,b,c), точкам якої відповідають багаточлени P(x), які мають кратні корені.

«Хвіст ластівки»

Поверхня S має особливість у вигляді ребра повернення і лінії самоперетину, при цьому ребро повернення має вигляд напівкубічної параболи, що має особливість у вигляді точки повернення (каспу) . Поверхня S розбиває простір (a,b,c) на три області, що відповідають числам дійсних коренів многочлена P(x). Саме, в області, що має вигляд криволінійної піраміди, ребрами якої є лінія самоперетину і дві гілки напівкубічної параболи, P(x) має 4 дійсних корені, в прилеглій до неї області — два, і в області, що залишилась — нуль .

Хвіст ластівки знаходить численні застосування в теорії катастроф і теорії біфуркацій. Зокрема, він є поверхнею критичних значень (образом множини критичних точок) одного з стійких ростків гладких відображень f: \R^3\to\R^3. Хвіст ластівки є стратифікованим многовидом.

Параметричне задання[ред.ред. код]

Користуючись даним означенням, можна отримати формулу, що задає хвіст ластівки параметрично:


\left\{
\begin{matrix}
x_1(u,v) =& u \\
x_2(u,v) =& 2v^3 + uv \\
x_3(u,v) =& 3v^4 + uv^2. \\
\end{matrix}
\right.

Цікаві факти[ред.ред. код]

Поверхня хвіст ластівки була детально вивчена Кронекером в 1878 році, вона зустрічається також в роботах Келі того ж часу, присвячених особливостям розповсюджуються хвильових фронтів і каустик. [1]

У 1983 році іспанський художник Сальвадор Далі під враженням від робіт французького математика Рене Тома в області теорії катастроф написав картину «Хвіст ластівки», що являє собою просту каліграфічну композицію на світлому фоні, в центрі якої зображено переріз поверхні S в просторі (a,b,c) площиною a = \text{const}>0 — крива з точкою самоперетину і двома напівкубічними точками повернення. На цій картині, що стала останнім твором художника, можна бачити також кубічну параболу, стилізовані знаки інтеграла й фрагменти музичних інструментів.[2] [3] [4] [5]

Література[ред.ред. код]

Примітки[ред.ред. код]

  1. Брус Дж., Джиблин П. Кривые и особенности: Геометрическое введение в теорию особенностей. — стр. 8.
  2. Ласточкин хвост — последнее произведение Сальвадора Дали.
  3. Дали Сальвадор. Биография.
  4. The Swallow's Tail
  5. Dalí, Salvador, ‘Gala, Velásquez and the Golden Fleece’ (9 May 1979). Reproduced in-part in Robert Descharnes, Dalí, the Work, the Man (New York: Harry N. Abrams, 1984) 420. Originally published in French as Dalí, l'oeuvre et l'homme (Lausanne: Edita, 1984).