Центральна гранична теорема

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
CLTBinomConvergence.svg

Центральна гранична теорема — теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей.

Центральна гранична теорема для незалежних послідовностей[ред.ред. код]

Формулювання Ліндеберга[ред.ред. код]

Нехай \{\mathbf{X}_k\} — послідовність взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами. Припустімо, що \mu = E(\mathbf{X}_k) та \sigma^2 = D(\mathbf{X}_k) існують. Нехай \mathbf{S}_n = \mathbf{X}_1 + \dots + \mathbf{X}_n. Тоді для довільних фіксованих \alpha, \beta (\alpha < \beta):

 P\left\{ \alpha < \frac{S_n - n\mu}{\sigma n^{1/2}} < \beta \right\} \to \Phi(\beta) - \Phi(\alpha).

Де \Phi(x) — нормальна функція розподілу.[1][2]

Формулювання Ляпунова[ред.ред. код]

Теорема названа на честь російського математика Олександра Ляпунова. У цьому варіанті центральної граничної теореми випадкові величини X_i мають бути незалежними, але не обов'язково однаково розподіленими. Теорема також вимагає щоб випадкові величини  |X_i| мали скінченні моменти деякого порядку (2 + δ) і швидкість зростання цих моментів має бути обмежена умовою Ляпунова.

ЦГТ Ляпунова[3]: Нехай {Xi} — послідовність незалежних випадкових величин, таких, що кожна з них має скінченне математичне сподівання \displaystyle \mu_i і дисперсію \displaystyle \sigma_i^2. Позначимо  s_n^2=\sum_{i=1}^n\sigma_i^2. Якщо для деякого  \delta>0 виконується умова Ляпунова

     \lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_{n}^{2+\delta}} \sum_{i=1}^{n} \operatorname{E}\big[\,|X_{i} - \mu_{i}|^{2+\delta}\,\big] = 0
Тоді сума Z_n=\frac{X_i-\mu_i}{s_n} прямує за розподілом до стандартного нормального розподілу, при  n\to\infty

     \frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu_i) \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1).

На практиці зазвичай найлегше перевірити умову Ляпунова для \delta=1. Якщо послідовність випадкових величин задовольняє умову Ляпунова, то вона задовольняє також умову Лінденберга. Зворотне твердження не правильне.

Формулювання Лінденберга[ред.ред. код]

Докладніше: Умова Лінденберга

Використовуючи ті позначення що й у попередньому параграфі, замінюючи умову Ляпунова на слабшу (запропоновану фінським математиком Ліндебергом у 1920 році) можна отримати нове формулювання центральної граничної теореми.

Якщо для кожного \varepsilon>0 виконується

  \lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i = 1}^{n} \operatorname{E}\big[
   (X_i - \mu_i)^2 \cdot \mathbf{1}_{\{ | X_i - \mu_i | > \varepsilon s_n \}}
  \big] = 0
де  1_{\{\dots \}}характеристична функція. Тоді розподіл стандартизованої суми Zn прямує до стандартного нормального розподілу N(0,1).

Дивіться також[ред.ред. код]

Посилання[ред.ред. код]

  1. В. Феллер (1964). Введение в теорию вероятностей и ее приложения, т. 1. М.: Мир. с. 249. 
  2. J. W. Lindeberg Eine neue Herleitung des Exponentialgesetzes in der Warscheinlichkeitsrechnung // Mathematische Zeitschrift, 15 (1922) С. 211-225.
  3. Billingsley (1995, p. 362)

Джерела[ред.ред. код]

  • Billingsley, Patrick (1995), Probability and Measure (3 вид.), John Wiley & sons, ISBN 0-471-00710-2 (англ.)