Центральна гранична теорема

Центральна гранична теорема — теорема теорії ймовірностей про збіжність розподілу суми незалежних однаково розподілених випадкових величин до нормального розподілу. Ця теорема підкреслює особливість нормального розподілу в теорії ймовірностей.

Центральна гранична теорема для незалежних послідовностей

Формулювання Ліндеберга

Нехай $\{\mathbf{X}_k\}$ — послідовність взаємно незалежних випадкових величин з однаковими розподілами. Припустімо, що $\mu = E(\mathbf{X}_k)$ та $\sigma^2 = D(\mathbf{X}_k)$ існують. Нехай $\mathbf{S}_n = \mathbf{X}_1 + \dots + \mathbf{X}_n$. Тоді для довільних фіксованих $\alpha$, $\beta$ ($\alpha < \beta$):

$P\left\{ \alpha < \frac{S_n - n\mu}{\sigma n^{1/2}} < \beta \right\} \to \Phi(\beta) - \Phi(\alpha).$

Де $\Phi(x)$ — нормальна функція розподілу.

Формулювання Ляпунова

Теорема названа на честь російського математика Олександра Ляпунова. У цьому варіанті центральної граничної теореми випадкові величини $X_i$ мають бути незалежними, але не обов'язково однаково розподіленими. Теорема також вимагає щоб випадкові виличини $|X_i|$ мали скінченні моменти деякого порядку (2 + δ) і швидкість зростання цих моментів має бути обмежена умовою Ляпунова.

ЦГТ Ляпунова: Нехай {X_i} — послідовність незалежних випадковех величин, таких, що кожна з них має скінченне математичне сподівання $\displaystyle \mu_i$ і дисперсію $\displaystyle \sigma_i^2$. Позначимо $s_n^2=\sum_{i=1}^n\sigma_i^2$. Якщо для деякого $\delta>0$ виконується умова Ляпунова

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{s_{n}^{2+\delta}} \sum_{i=1}^{n} \operatorname{E}\big[\,|X_{i} - \mu_{i}|^{2+\delta}\,\big] = 0$

Тоді сума $Z_n=\frac{X_i-\mu_i}{s_n}$ прямує за розподілом до стандартного нормального розподілу, при $n\to\infty$

$\frac{1}{s_n} \sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu_i) \ \xrightarrow{d}\ \mathcal{N}(0,\;1).$

На практиці зазвичай найлегше перевірити умову Ляпунова для $\delta=1$. Якщо послідовність випадкових величин задовольняє умову Ляпунова, то вона задовольняє також умову Лінденберга. Зворотне твердження не правильне.

Формулювання Лінденберга

Використовуючи ті позначення що й у попередньому параграфі, замінюючи умову Ляпунова на слабшу (запропоновану фінським математиком Ліндебергом у 1920 році) можна отримати нове формулювання центральної граничної теореми.

Якщо для кожного $\varepsilon>0$ виконуэться

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{s_n^2}\sum_{i = 1}^{n} \operatorname{E}\big[ (X_i - \mu_i)^2 \cdot \mathbf{1}_{\{ | X_i - \mu_i | > \varepsilon s_n \}} \big] = 0$

де $1_{\{\dots \}}$ — характеристична функція. Тоді розподіл стандартизованої суми Z_n прямує до стандартного нормального розподілу N(0,1).

Дивіться також

• Закон великих чисел.

Джерела

• Billingsley, Patrick (1995), Probability and Measure (3 вид.), John Wiley & sons, ISBN 0-471-00710-2 (англ.)