Центр групи

В абстрактній алгебрі центром групи G (позначається Z(G)) називають множину елементів, що комутують з усіма елементами групи G, тобто:

$Z(G) = \{z \in G \mid zg = gz, \forall g \in G \}$.

Очевидно, що група буде абелевою(комутативною) тоді і тільки тоді, коли Z(G) = G. З іншої сторони, якщо центр групи містить лишень нейтральний елемент, то група називається групою без центру.

Властивості

• Z(G) є підгрупою групи G:

Нейтральний елемент належить центру, $e \in Z(G),$ оскільки $eg=g=ge, \quad \forall g \in G$;

Добуток двох елементів з центра належить центру. Якщо $x,y \in Z(G)$ тоді $(xy)g = x(yg) = x(gy) = (xg)y = (gx)y = g(xy), \forall g \in G$, отже $xy \in Z(G)$;

Обернений до елемента центра належить центру. Якщо $e \in Z(G),$ то gx = xg. Домноживши обидві сторони рівності зліва і справа на x^-1 одержимо x⁻¹g = gx⁻¹, звідки $x^{-1} \in Z(G).$

• Підгрупа $\ Z(G)$ є абелевою і нормальною.

• Факторгрупа $\ G/Z(G)$ ізоморфна групі внутрішніх автоморфізмів групи G, тобто групі відображень:$\phi_g(h) = ghg^{-1} \,$

Дійсно функцію f: G → Aut(G) можна задати наступним чином: f(g) = φ_g. Очевидно, що дане відображення є гомоморфізмом груп. Якщо $g \in Z(G),$ то $\phi_g(h) = ghg^{-1}=hgg^{-1}=h, \forall h \in G \,$ тобто центр групи є підмножиною ядра гомоморфізму. З іншого боку елементи групи, що не належать центру не є ядром оскільки тоді $\exists h \in G,$ що $\phi_g(h) = ghg^{-1}\neq hgg^{-1}=h$ тобто образом відображення не є одиничний автоморфізм. Остаточно з теореми про ізоморфізм груп маємо:

$G/Z(G)\cong \rm{Inn}(G).$

• Якщо факторгрупа $\ G/Z(G)$ циклічна, то G  — абелева.

Дійсно, згідно з означенням циклічної групи маємо, що для деякого $g \in Z(G)$ виконується рівність $G/Z(G)=\langle gZ(G) \rangle$ тому $G=Z(G)\langle g. \rangle$ Зважаючи, що група $\langle g \rangle$ є абелева маємо, що будь-які елементи групи G комутують.

Приклади

• Центром групи квадратних матриць розміру n над полем F з ненульовим визначником є множина скалярних матриць: $\{ sI_n | s \in F\setminus\{0\} \}.$
• Групи перестановок (симетричні групи) S_n для n ≥ 3 є групами без центру.
• Групи парних перестановок (знакозмінні групи) A_n для n ≥ 4 є групами без центру.
• Прості неабелеві групи є групами без центру.

Дійсно за означенням єдиними нормальними підгрупами даних груп є тривіальні групи і самі ці групи. Зважаючи, що центр є нормальною підгрупою і група некомутативна маємо, що центр рівний тривіальній групі.

Центри вищих порядків

Визначимо послідовність підгруп:

$G_0 = G , G_1 = G_0/Z(G_0) , G_2 = G_1/Z(G_1) \cdots$

Ядро відображення $G \to G_i$ називається i-тим центром групи G і позначається $Z^i(G)$. Послідовність:

$1 \leq Z(G) \leq Z^2(G) \leq \cdots$

стабілізується ($Z^i(G) = Z^{i+1}(G)$)тоді й лише тоді коли $G_i$ є групою без центру.

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Винберг Э.Б. (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва: Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7.