Циклічна група

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні ng, де $g \in G, n \in \Z$).

Формально, для мультиплікативних груп:

$G = \langle a \rangle = \left\{ a^n \ | \ n \in \Z \right\}. \$

для адитивних:

$G = \langle a \rangle = \left\{ n a \ | \ n \in \Z \right\}. \$

Приклади

• Група $\Z$ цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
• Група $\Z / n\Z$ цілих чисел за модулем n з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
• Група коренів з n-го степеня з 1 (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості

• Всі циклічні групи є абелевими.

Це випливає з асоціативності групи.

• Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі $\Z / n\Z$, а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі $\Z$.

Справді, для нескінченної групи можна взяти в якості ізоморфізму відображення, що переводить $\ a^k$ в $\ k.$

Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що $\ a^n=1$ та $\ n\equiv 0 \pmod n.$

• У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: 1 та -1; для скінченної групи порядку n їх кількість рівна функції Ейлера $\varphi(n),$ тобто кількості чисел менших від n і взаємно простих з n.

Для скінченної циклічної групи елемент k є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з n. Тоді існують $a,b \in \Z$ для яких виконується $\ ak+bn=1$ тобто $\ ak\equiv 1\pmod n.$ Відповідно $\ 2ak\equiv 2\pmod n$ і так для всіх елементів.

Навпаки якщо $\ ak\equiv 1\pmod n$ то ak-1 ділиться на n тобто рівне nb для деякого цілого b. Тоді ak-bn=1? що можливо лише для взаємно простих чисел.

• Якщо порядок групи — просте число, то така група циклічна.

Є наслідком теореми Лагранжа.

• Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення

Нехай $G$ — циклічна група і $H$ — її підгрупа. Вважатимемо, що $G$ і $H$ не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай $g$ — твірний елемент групи $G$, а $n$ — найменше додатнє ціле число, таке що $g^n \in H$. Твердження: $H=\langle g^n \rangle$

$\langle g^n \rangle \subseteq H$

${\forall a \in \langle g^n \rangle} \, {\exists z \in \Z} \mid {a=(g^n)^z}$

$g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H$

Відповідно, $\langle g^n \rangle \subseteq H$.

$H \subseteq \langle g^n \rangle$ 

Нехай $h \in H$.

$h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\Z} \mid h=g^x$.

Згідно з алгоритмом ділення $\exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n \and x=qn+r$

$\ h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q}$.

$h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H$.

Зважаючи на вибір $n$ і те, що $0 \le r \le n$, одержуємо $r=0$.

$r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle$.

Відповідно, $H \subseteq \langle g^n \rangle$.

Дивись також

• Теорія груп
• Модульна арифметика

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Винберг Э.Б. (2002). Курс алгебры (вид. 3-е). Москва: Факториал Пресс. с. 544. ISBN 5-88688-060-7.