Циклічна група

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні ng, де g \in G, n \in \Z).

Формально, для мультиплікативних груп:

G = \langle a \rangle = \left\{ a^n \ | \ n \in \Z \right\}. \

для адитивних:

G = \langle a \rangle = \left\{ n a \ | \ n \in \Z \right\}. \

Приклади[ред.ред. код]

  • Група \Z цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
  • Група \Z / n\Z цілих чисел за модулем n з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
  • Група коренів з n-го степеня з 1 (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості[ред.ред. код]

Це випливає з асоціативності групи.
  • Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі \Z / n\Z, а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі \Z.
Справді, для нескінченної групи можна взяти в якості ізоморфізму відображення, що переводить \ a^k в \ k.
Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що \ a^n=1 та \ n\equiv 0 \pmod n.
  • У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: 1 та -1; для скінченної групи порядку n їх кількість рівна функції Ейлера \varphi(n), тобто кількості чисел менших від n і взаємно простих з n.
Для скінченної циклічної групи елемент k є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з n. Тоді існують a,b \in \Z для яких виконується \ ak+bn=1 тобто \ ak\equiv 1\pmod n. Відповідно \ 2ak\equiv 2\pmod n і так для всіх елементів.
Навпаки якщо \ ak\equiv 1\pmod n то ak-1 ділиться на n тобто рівне nb для деякого цілого b. Тоді ak-bn=1? що можливо лише для взаємно простих чисел.
Є наслідком теореми Лагранжа.
  • Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи[ред.ред. код]

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення[ред.ред. код]

Нехай G — циклічна група і H — її підгрупа. Вважатимемо, що G і H не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай g — твірний елемент групи G, а n — найменше додатне ціле число, таке що g^n \in H. Твердження: H=\langle g^n \rangle

\langle g^n \rangle \subseteq H

{\forall a \in \langle g^n \rangle} \, {\exists z \in \Z} \mid {a=(g^n)^z}
g^n \in H \Rightarrow (g^n)^z \in H \Rightarrow a \in H
Відповідно, \langle g^n \rangle \subseteq H.
H \subseteq \langle g^n \rangle 
Нехай h \in H.
h \in H \Rightarrow h \in G \Rightarrow \exists x \in {\Z} \mid h=g^x.
Згідно з алгоритмом ділення \exists q,r \in {\mathbb{Z}} \mid 0 \le r \le n \and x=qn+r
\ h=g^x=g^{qn+r}=g^{qn}g^r=(g^n)^qg^r \Rightarrow g^r=h(g^n)^{-q}.
h,g^n \in H \Rightarrow g^r \in H.
Зважаючи на вибір n і те, що 0 \le r \le n, одержуємо r=0.
r=0 \Rightarrow h=(g^n)^qg^0=(g^n)^q \in \langle g^n \rangle.
Відповідно, H \subseteq \langle g^n \rangle.

Дивись також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]