Циклічна група

Циклічна група — це група, яка може бути породжена одним із своїх елементів. Тобто всі елементи групи є степенями даного елемента (або, використовуючи термінологію адитивних груп, всі елементи групи рівні $ng$, де $g\in G,n\in \mathbb {Z}$).

Формально, для мультиплікативних груп:

$G=\langle a\rangle =\left\{a^{n}\ |\ n\in \mathbb {Z} \right\}.\$

для адитивних:

$G=\langle a\rangle =\left\{na\ |\ n\in \mathbb {Z} \right\}.\$

Приклади

• Група $\mathbb {Z}$ цілих чисел з операцією додавання. Дана група є прикладом нескінченної циклічної групи.
• Група $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ цілих чисел за модулем $n$ з операцією додавання. Дана група є прикладом скінченної циклічної групи.
• Група коренів з $n$-го степеня з $1$ (в множині комплексних чисел) з операцією множення.

Властивості

• Всі циклічні групи є абелевими.

Це випливає з асоціативності групи.

• Кожна скінченна циклічна група ізоморфна групі $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$, а кожна нескінченна циклічна група ізоморфна групі $\mathbb {Z}$.

Справді, для нескінченної групи можна взяти як ізоморфізм відображення, що переводить $a^{k}$ в $k$.

Для скінченної групи порядку n використовуємо аналогічне відображення і враховуємо, що $a^{n}=1$ та $n\equiv 0{\pmod {n}}.$

• У нескінченної циклічної групи є два твірні елементи: $1$ та $-1$; для скінченної групи порядку $n$ їх кількість рівна функції Ейлера $\varphi (n),$ тобто кількості чисел менших від $n$ і взаємно простих з $n$.

Для скінченної циклічної групи елемент $k$ є твірним тоді й лише тоді коли він взаємно простий з $n$. Тоді існують $a,b\in \mathbb {Z}$ для яких виконується $ak+bn=1$ тобто $ak\equiv 1{\pmod {n}}$. Відповідно $2ak\equiv 2{\pmod {n}}$ і так для всіх елементів.

Навпаки якщо $ak\equiv 1{\pmod {n}}$ то $ak-1$ ділиться на $n$ тобто рівне $nb$ для деякого цілого $b$. Тоді $ak-bn=1$? що можливо лише для взаємно простих чисел.

• Якщо порядок групи — просте число, то така група циклічна.

Є наслідком теореми Лагранжа.

• Якщо група не має власних підгруп то вона циклічна і її порядок просте число.

Теорема про підгрупи циклічної групи

Ключовим результатом для циклічних груп є наступна теорема:

Кожна підгрупа циклічної групи є циклічною.

Доведення

Нехай $G$ — циклічна група і $H$ — її підгрупа. Вважатимемо, що $G$ і $H$ не є тривіальними (тобто мають більше одного елемента).

Нехай $g$ — твірний елемент групи $G$, а $n$ — найменше додатне ціле число, таке що $g^{n}\in H$. Твердження: $H=\langle g^{n}\rangle$

$\langle g^{n}\rangle \subseteq H$

${\forall a\in \langle g^{n}\rangle }\,{\exists z\in \mathbb {Z} }\mid {a=(g^{n})^{z}}$

$g^{n}\in H\Rightarrow (g^{n})^{z}\in H\Rightarrow a\in H$

Відповідно, $\langle g^{n}\rangle \subseteq H$.

$H\subseteq \langle g^{n}\rangle$

Нехай $h\in H$.

$h\in H\Rightarrow h\in G\Rightarrow \exists x\in {\mathbb {Z} }\mid h=g^{x}$.

Згідно з алгоритмом ділення $\exists q,r\in {\mathbb {Z} }\mid 0\leq r<n\land x=qn+r$

$\ h=g^{x}=g^{qn+r}=g^{qn}g^{r}=(g^{n})^{q}g^{r}\Rightarrow g^{r}=h(g^{n})^{-q}$.

$h,g^{n}\in H\Rightarrow g^{r}\in H$.

Зважаючи на вибір $n$ і те, що $0\leq r<n$, одержуємо $r=0$.

$r=0\Rightarrow h=(g^{n})^{q}g^{0}=(g^{n})^{q}\in \langle g^{n}\rangle$.

Відповідно, $H\subseteq \langle g^{n}\rangle$.

Див. також

• Теорія груп
• Модульна арифметика
• Циклічний граф

Джерела

Українською

• (укр.) Гаврилків В. М. Елементи теорії груп та теорії кілець. — І.-Ф.  : Голіней, 2023. — 153 с.

Іншими мовами

• Курош А. Г. Теория групп. — 3-е изд. — Москва : Наука, 1967. — 648 с. — ISBN 5-8114-0616-9.(рос.)
• Винберг Э. Б. Курс алгебри. — 4-е изд. — Москва : МЦНМО, 2011. — 592 с. — ISBN 978-5-94057-685-3.(рос.)

• Джозеф Ротман. An Introduction to the Theory of Groups. — 4th. — Springer (Graduate Texts in Mathematics), 1994. — 532 с. — ISBN 978-0387942858.(англ.)