Ціла функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ціла функціяфункція, голоморфна на всій комплексній площині. Вона розкладається в степеневий ряд:

f(z)= \sum_{n \ge 0}a_n z^n, \quad a_n=\frac{f^{(n)}(z)}{n!},

що є збіжним у всій площині \C. Прикладами цілих функцій є многочлени, тригонометричні функції, експонента.

Властивості[ред.ред. код]

  • Ціла функція, що має на нескінченності полюс, повинна бути многочленом. Таким чином, всі цілі функції, що не є многочленами мають на нескінченності істотно особливу точку. Такі функції називаються трансцендентними цілими функціями.
  • Якщо f(z) \neq 0 усюди, то f(z) = e^{P(z)}, де P(z) — ціла функція.
f(z) = (z - z_1) \ldots (z - z_k) e^{P(z)}
  • У загальному випадку, коли у f(z) є нескінченно багато нулів z_1, z_2, \ldots, має місце представлення:
f(z)=z^\lambda e^{P(z)}\prod_1^\infty\left(1-\frac{z}{a_n}\right)\exp\left(\frac{z}{a_n}+\frac{1}{2}\left(\frac{z}{a_n}\right)^2+\dots+\frac{1}{p_n}\left(\frac{z}{a_n}\right)^{p_n}\right),
де Р(z) є цілою функцією, а \lambda = 0, якщо f(0) \neq 0 і \lambda рівне кратності нуля z = 0, якщо f(0) = 0.
  • Значеннями довільної цілої функції, не рівної константі, є усі комплексні числа за винятком, можливо одного числа (наприклад значеннями експоненти є всі числа крім нуля).

Порядок і тип цілої функції[ред.ред. код]

Нехай M_f(r)=\max_{|z| \leq r} |f(z)|.

Якщо при великих r величина Мf (r) зростає не швидше r^{\mu}, то f(z)многочлен степеня не більшого \mu. Відповідно, якщо f(z) не многочлен, то Мf (r) росте швидше будь-якого степеня r. При оцінці зростання Мf (r) в цьому випадку береться в якості функції порівняння показникова функція.

За визначенням f(z) є цілою функцією скінченного порядку, якщо існує скінченне \mu таке, що

M_f(r) < \exp(r^\mu), \quad r > r_0

Нижня грань \rho множини чисел \mu, що задовольняють цій умові, називається порядком цілої функції f(z).

Порядок обчислюється за формулою

\rho=\rho_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln \ln M_f(r)}{\ln r}.

Якщо f(z) порядку \rho задовольняє умові:

M_f(r) < \exp(\alpha r^\mu), \quad \alpha < \infty, \quad r > r_0

то кажуть, що f(z) — функція порядку \rho і скінченного типу. Нижня грань \sigma множини чисел \alpha, що задовольняють вказаній умові, називається типом цілої функції f(z). Він визначається з формули

\sigma_f=\limsup_{r \rightarrow \infty}\frac{\ln M_f(r)}{r^\rho}.

Серед цілих функцій скінченного типу розрізняють цілі функції нормального типу (\sigma > 0) і мінімального типу (\sigma = 0). Якщо умова при визначенні типу не виконується при будь-якому \alpha < \infty, то ціла функція називається цілою функцією максимального, або нескінченного, типу.

Нулі z_1, z_2, \ldots, цілої функції f(z) порядку \rho володіють властивістю:

\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{|z_k|^{\rho + \epsilon}} < \infty, \quad \forall \epsilon > 0.

Приклади[ред.ред. код]

  • Функції \exp(z) і \sin(z) з \cos(z) мають порядок 1.
  • Функція Міттаг-Лефлера f(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{\Gamma\left(1+\frac{n}{\rho}\right)} має порядок \rho.

Властивості[ред.ред. код]

  • Порядок і тип цілих функцій задовольняють властивості:
    • \rho_{f+g} \le \max(\rho_f,\rho_g)
    • \rho_{fg} \le \max(\rho_f,\rho_g)
    • \sigma_{f+g}\le \max(\sigma_f,\sigma_g)
    • \sigma_{fg} \le \sigma_f+\sigma_g
  • Нулі z_1, z_2, \ldots, цілої функції f(z) порядку \rho володіють властивістю:
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{|z_k|^{\rho + \epsilon}} < \infty, \quad \forall \epsilon > 0.
  • Порядок і тип можна визначити через коефіцієнти розкладу функції в ряд:
    • \rho_f=\limsup_{n \rightarrow \infty}\frac{n\ln n}{\ln 1/|a_n|}.
    • \sigma_f=\frac1{\rho e}\limsup_{n \rightarrow \infty}n|a_n|^{n/\rho}.

Функції багатьох змінних[ред.ред. код]

Функція багатьох змінних f(z1, z2, ..., zn) є цілою функцією, якщо вона є голоморфною для |z_k|< \infty, ~(k = 1, \ldots, n). Для неї вводяться поняття порядку і типу (спряжених порядків і типів). Простого представлення у виді нескінченного добутку тут одержати не вдається, тому що на відміну від випадку n = 1 нулі f(z) не є ізольованими.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • Евграфов М. А., Асимптотические оценки и целые функции, 3 изд., М., 1979
  • Левин Б. Я., Распределение корней целых функций, М., 1956;
  • Ронкин Л. И., Введение в теорию целых функций многих переменных, М., 1971.
  • Ralph P. Boas (1954). Entire Functions. Academic Press.