Ціле розширення кільця

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент $x \in B$ є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

$x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,$

де $a_i \in R$. Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади

• Цілий елемент є алгебраїчним над R.
• Якщо R — поле, то вірним є і зворотне твердження.
• Елементи поля комплексних чисел $\C$, цілі над кільцем $\Z$, називаються цілими алгебраїчними числами.
• Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент $x \in B$ є цілим над R (зворотне може не бути вірним).

Властивості

• Нехай кільце $A \supset R$ — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.

• Якщо B є цілим над R і R' — деяка R-алгебра, то $B \bigotimes R^'$ є цілим над R^'. Якщо В — ціле розширення кільця R і S — деяка мультиплікативна підмножина в R, то кільце S^-1B є цілим над S^-1R. Область цілісності R називається цілозамкнутою, якщо ціле замикання R в своєму полі часток рівне R. Факторіальне кільце є цілозамкнутим. Кільце R є цілозамкнутим тоді і тільки тоді для будь-якого максимального ідеалу $\mathfrak p$ з R цілозамкнутим є локальне кільце $R_\mathfrak p$.

• Нехай В — ціле розширення R і $\mathfrak p$ — деякий простий ідеал кільця R. Тоді $\mathfrak p B \neq B$ і існує простий ідеал $\mathfrak B$ кільця B, що лежить над $\mathfrak p$ (тобто такий, що $\mathfrak p = \mathfrak B \cap R$). Ідеал $\mathfrak B$ є максимальним тоді і тільки тоді, коли максимальним є $\mathfrak p$. Якщо L — скінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів $\mathfrak B$ кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.

• Нехай $B \supset A \supset R$ розширення $B \supset R$ є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення $B \supset A$ і $A \supset R$.

Література

• Ю. Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії. ВНТЛ–Класика. Львів, 2004.
• Атья М., Макдональд И. (1972). Введение в коммутативную алгебру. Москва: Мир. с. 160. 
• Huneke, Craig; Swanson, Irena (2006), Integral closure of ideals, rings, and modules, London Mathematical Society Lecture Note Series, 336, Cambridge, UK: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-68860-4