Ціле розширення кільця

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ціле розширення кільця — розширення B комутативного кільця R з одиницею таке, що будь-який елемент x \in B є цілим над R, тобто задовольняє деякому рівнянню вигляду

 x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 \,

де a_i \in R. Дане рівняння називається рівнянням цілої залежності. Елемент x є цілим в R тоді і тільки тоді, коли виконується одна з двох еквівалентних умов:

  1. R[x] є скінченно породженим R-модулем ;
  2. існує точний R[x]-модуль, що є скінченно породженим R-модулем.

Приклади[ред.ред. код]

  • Цілий елемент є алгебраїчним над R.
  • Якщо Rполе, то вірним є і зворотне твердження.
  • Елементи поля комплексних чисел \C, цілі над кільцем \Z, називаються цілими алгебраїчними числами.
  • Якщо кільце B є скінченно породженим модулем над R, то будь-який елемент x \in B є цілим над R (зворотне може не бути вірним).

Властивості[ред.ред. код]

  • Нехай кільце A \supset R — комутативне, x і y — елементи A, цілі над R. Тоді x + y і xy також цілі над R, і множина всіх елементів з A, цілих над R, утворює підкільце, що називається цілим замиканням R в A.
  • Нехай В — ціле розширення R і \mathfrak p — деякий простий ідеал кільця R. Тоді \mathfrak p B \neq B і існує простий ідеал \mathfrak B кільця B, що лежить над \mathfrak p (тобто такий, що \mathfrak p = \mathfrak B \cap R). Ідеал \mathfrak B є максимальним тоді і тільки тоді, коли максимальним є \mathfrak p. Якщо Lскінченне розширення поля часток кільця R і В — ціле замикання R в L, то існує лише скінченна кількість простих ідеалів \mathfrak B кільця В, що лежать над заданим простим ідеалом кільця R.
  • Нехай B \supset A \supset R розширення B \supset R є цілим тоді і лише тоді, коли цілими є обидва розширення B \supset A і  A \supset R.

Література[ред.ред. код]