Ціле число Ейзенштейна

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Цілі числа Ейзенштейна утворюють трикутну ґратку на комплексній площині

В математиці Ціле число Ейзенштейна це комплексне число виду

z = a + b\omega \,\!

де a і bцілі числа,

\omega = \frac{1}{2}(-1 + i\sqrt 3) = e^{2\pi i/3}

комплексний кубічний корінь з одиниці.

Властивості[ред.ред. код]

Цілі числа Ейзенштейна утворюють комутативне кільце цілих алгебраїчних чисел у круговому полі Q(ω). Вони є цілими алгебраїчними числами оскільки число z = a + bω є коренем многочлена

z^2 - (2a - b)z + (a^2 - ab + b^2). \,\!

Зокрема, ω задовольняє рівняння

\omega^2 + \omega + 1 = 0. \,\!

Норма цілих чисел Ейзенштейна рівна

|a+b\omega|^2 = a^2 - ab + b^2. \,\!

Відповідно норма є цілим числом. Оскільки

4a^2-4ab+4b^2=(2a-b)^2+3b^2,  \,\!

норма ненульового числа є додатною.

Група одиниць (оборотних елементів) даного кільця це циклічна група коренів шостого степеня з одиниці. Елементами цієї групи є

{±1, ±ω, ±ω2}

Прості числа Ейзенштейна[ред.ред. код]

Якщо x і y — цілі числа Ейзенштейна, то x ділить y якщо існує ціле число Ейзенштейна z що y = z x.

Необоротне ціле число Ейзенштейна x називається простим, якщо всі його дільники мають вид ux де u є одним з шести оборотних чисел.

Звичайне просте число рівне 3 чи рівне 1 за модулем 3 має вигляд x2xy + y2 для деяких цілих чисел x, y і тому може бути розкладене в добуток (x + ωy)(x + ω2y) і, як наслідок не є простим числом Ейзенштейна.

Кожне ціле число Ейзенштейна a + bω норма якого a2ab + b2 є звичайним простим числом, є простим числом Ейзенштейна. Кожне просте число Ейзенштейна або записується у цьому виді, або є добутком оборотного елемента і звичайного простого числа рівного 2 за модулем 3.

Кільце Евкліда[ред.ред. код]

Кільце цілих чисел Ейзенштейна є евклідовим кільцем з нормою N , визначається

N(a + b\,\omega) = a^2 - a b + b^2.  \,\!

Це можна довести таким чином:

\begin{align}N(a+b\,\omega)
&=|a+b\,\omega|^2\\
&=(a+b\,\omega)(a+b\,\bar\omega)\\
&=a^2 + ab(\omega+\bar\omega) + b^2\\
&=a^2 - ab + b^2\end{align}

Див. також[ред.ред. код]

External links[ред.ред. код]