Цілком впорядкована множина

Цілком впорядкована множина — лінійно впорядкована множина, в якій для кожної непорожньої підмножини існує найменший елемент відповідно до заданого порядку (див. Фундована множина).

Для цілком впорядкованих множин можна застосовувати трансфінітну індукцію для доведення тверджень для всіх елементів множини.

Властивості

• Теорема Цермело: твердження, що довільну множину можна цілком впорядкувати — рівносильне аксіомі вибору чи лемі Цорна.
• Якщо X та Y — дві цілком впорядковані множини, то існує вкладення однієї множини в іншу зі збереженням порядку в обох множинах.
• Довільна цілком впорядкована множина ізоморфна зі збереженням порядку деякому порядковому числу, яке називається тип порядку цієї множини.
• Позиція елемента в цілком впорядкованій множині теж задається порядковим числом.

Приклади

• Натуральні числа
• Незліченні цілком впорядковані множини можуть бути побудовані тільки з використанням аксіоми вибору.

Цілі

На відміну від стандартного впорядкування для ≤ натуральних чисел, стандартне впорядкування ≤ цілих це не цілковите впорядкування, бо, наприклад, множина від'ємних чисел не містить найменшого елемента.

Наступне відношення R це приклад цілковитого впорядкування цілих: x R y тоді і тільки тоді, коли виконуєтьтся одна з наступних умов:

1. x = 0
2. x додатне і y від'ємне
3. x і y обидва додані і x ≤ y
4. x і y обидва від'ємні і |x| ≤ |y|

Це відношення R можна візуалізувати так:

0 1 2 3 4 ... −1 −2 −3 ...

R ізоморфне порядковому числу ω + ω.

Іншим відношенням для цілковитого впорядкування цілих є: x ≤_z y тоді і тільки тоді, коли (|x| < |y| або (|x| = |y| і x ≤ y)). Цей цілковитий порядок можна візуалізувати так:

0 −1 1 −2 2 −3 3 −4 4 ...

Тут тип порядку (позиція останнього елемента, якщо такий існує) ω.

Див. також

• Лема Цорна

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)

• Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : ОНТИ, 1937. — 304 с. — ISBN 978-5-382-00127-2.(рос.)