Цілі числа

Цілі числа на числовій прямій.

Ці́лі чи́сла — в математиці елементи множини $\Z = \lbrace \ldots -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3 \, \ldots \rbrace$ яка утворюється замиканням натуральних чисел відносно віднімання. Таким чином, цілі числа замкнуті відносно додавання, віднімання та множення.

Множина цілих чисел складається з

• множини натуральних чисел $\N$,
• нуля — розв'язку $x=0\,$ рівняння $a+x=a,\ a\in \N$,
• множини від'ємних чисел - множини розвязків $x=-a\,$ усіх рівнянь виду $a+x=0,\ a\in \N$.

Алгебраїчні властивості

• $\Z$ не є замкнута відносно ділення двох цілих чисел (наприклад, 1/2).
• $(\Z,+)$ є абелевою групою.
• $(\Z, *)$ є комутативним моноїдом.
• $(\Z,+)$ — єдина нескінченна циклічна група.
• $(\Z,+,*)$ є комутативним кільцем (це слідує з двох вищеперечислених властивостей).
• $(\Z,+,*)$ не є полем. Найменше поле, що включає цілі числа є множина раціональних чисел $\Q.$

Теоретико-множинні властивості

• $\Z$ — зліченна множина.
• $\Z$ — лінійно впорядкована множина без верхньої та нижньої межі.

Ознаки подільності чисел в десятковій системі

Ціле число ділиться націло на:

• 2, якщо остання цифра парна;
• 3, якщо сума цифр ділиться на 3;
• 4, якщо число з останніх двох цифр діляться на 4;
• 5, якщо остання цифра — 0 або 5;
• 6, якщо число ділиться на 3 і на 2;
• 8, якщо число з останніх трьох цифр діляться на 8;
• 9, якщо сума цифр ділиться на 9;
• 10, якщо остання цифра — 0.