Числа Бетті

В алгебраїчній топології n-вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної гомологічної групи з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому.

Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті.

Приклади

• Для сфери $\ S^{n}:$

$\ b_{0}(S^{n})=1,\quad b_{1}(S^{n})=\ldots =b_{n-1}(S^{n})=0,\quad b_{n}(S^{n})=1.$

• Для проективної площини $P_{2}(\mathbb {R} ):$

$b_{0}(P_{2}(\mathbb {R} ))=1,\quad b_{1}(P_{2}(\mathbb {R} ))=b_{2}(P_{2}(\mathbb {R} ))=0.$

• Для тора $\ T^{2}:$

$b_{0}(T^{2})=b_{2}(T^{2})=1,\quad b_{1}(T^{2})=2.$

Приклад: перше число Бетті в теорії графів

В топологічній теорії графів перше число Бетті графу G з n вершинами, m ребрами та k компонентами зв'язності дорівнює

$m-n+k.\$

Це можна безпосередньо довести із використанням математичної індукції за кількістю ребер. Нове ребро або збільшує кількість 1-циклів, або зменшує кількість компонент зв'язності.

Дивись цикломатичну складність як приклад застосування першого числа Бетті в розробці програмного забезпечення.

Властивості

• Для скінченного симпліційного комплекса K групи гомологій H_k(K) є скінченно-породженими і, відтак, мають скінченний ранг. Якщо k перевищує максимальну розмірність симплексів K, то відповідні групи гомологій нульові. У цьому випадку
  • Ейлерова характеристика K може бути виражена наступним чином

    $\chi (K)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{i}\beta _{i}(K)$

  • Функція Пуанкаре є поліномом.
• Згідно з теоремою Кюннета для будь-яких двох просторів X і Y, вірно наступне співвідношення для функцій Пуанкаре

$P_{X\times Y}=P_{X}P_{Y},\,$

• Якщо X — замкнутий і орієнтовний n-вимірний многовид, то, згідно з двоїстістю Пуанкаре, для будь-якого k:

  $\beta _{k}(X)=\beta _{n-k}(X).$

Література

• Александров П. С, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.