Числа Бетті

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

В алгебраїчній топології n- вимірним числом Бетті простору X є ранг n-вимірної гомологічної групи з цілими коефіцієнтами. Еквівалентно числа Бетті рівні розмірності гомологічної групи з раціональними коефіцієнтами. Для кожного n числа Бетті — топологічні інваріанти поліедра, що реалізовує комплекс K, що вказує число попарно негомологічних (над раціональними числами) циклів в ньому.

Термін «числа Бетті» було введено Анрі Пуанкаре, який назвав їх на честь італійського математика Енріко Бетті.

Приклади[ред.ред. код]

  • Для сфери \ S^n:
\ b_0(S^n)=1, \quad b_1(S^n) = \ldots = b_{n-1}(S^n)=0, \quad b_n(S^n) = 1.
  • Для проективної площини P_2(\R):
b_0(P_2(\R))=1, \quad b_1(P_2(\R)) = b_{2}(P_2(\R))=0.
  • Для тора \ T^2:
b_0(T^2)= b_{2}(T^2) = 1, \quad b_1(T^2) = 2.

Приклад: перше число Бетті в теорії графів[ред.ред. код]

В топологічній теорії графів перше число Бетті графа G з n вершинами, m ребрами та k компонентами зв'язності дорівнює

m - n + k.\

Це можна безпосередньо довести із використанням математичної індукції за кількістю ребер. Нове ребро або збільшує кількість 1-циклів, або зменшує кількість компонент зв'язності.

Дивись цикломатичну складність як приклад застосування першого числа Бетті в розробці програмного забезпечення.

Властивості[ред.ред. код]

P_{X\times Y}=P_X P_Y , \,

Література[ред.ред. код]

  • Александров П. С, Введение в гомологическую теорию размерности и общую комбинаторную топологию, М., 1975.