Числа Піфагора

Теорема Піфагора: a² + b² = c²

Числа Піфагора (піфагорова трійка) складаються з трьох додатніх цілих чисел a, b і c, таких що a² + b² = c². Ці числа зазвичай записують в такому вигляді (a, b, c), і найвідоміший приклад (3, 4, 5). Якщо (a, b, c) числа Піфагора, тоді і (ka, kb, kc) також для будь-якого цілого додатнього k. Примітивними Піфагоровими числами називаються взаємно прості a, b й c.

Назву свою числа отримали через теорему Піфагора, для якої ці числа є розв’язком. Але не всі розв’язки теореми є Піфагоровими числами. Наприклад, трикутник із сторонами a = b = 1 і c = √2 прямокутний, але (1, 1, √2) не є Піфагоровими числами, тому що √2 не ціле число. Більше того 1 і √2 не мають цілого спільного кратного, тому що √2 ірраціональне число. Всього є 16 примітивних Піфагорових чисел для c ≤ 100:

( 3, 4, 5)	( 5, 12, 13)	( 7, 24, 25)	( 8, 15, 17)
( 9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

Загальні формули

За допомогою простих арифметичних обчислень неважко перевірити, що для довільних цілих m>n числа

$a=m^2-n^2\,$

$b=2\cdot m\cdot n\,$

$c=m^2+n^2\,$

є числами Піфагора. Вони є примітивними, якщо і тільки якщо m і n є взаємно прості і одне з них парне (якщо б оба були непарні тоді a,b,c були б парні і не були б примітивними). З іншого боку можна довести, що всі примітивні числа Піфагора можна задати подібним чином. Справді, нехай a,b,c - деякі примітивні числа Піфагора. Очевидно, що два з них мають бути непарними, а одне - парним. Доведемо, що випадок, коли a,b- непарні, а c - парне неможливий. Дійсно, якщо c є парним, то c² ділиться на 4, тоді як a² + b² =(2p+1)² + (2q+1)² =4p²+4p+1+4q²+4q+1 при діленні на 4 дає в остачі 2. Отже, припустимо, що a,c- непарні, а b - парне. Записавши a² - c² = b² і враховуючи a² - c² = (a+с)(a-с) ділячи на 4 остаточно, одержуємо:

$\frac{c - a}{2}\cdot\frac{c + a}{2} = \left( \frac{b}{2}\right) ^2$

В попередній формулі множники в лівій частині є взаємно простими. В іншому разі їх спільний дільник був би спільним дільником і для a,c, а значить і b, що неможливо. Оскільки два множники взаємно прості, а їх добуток є квадратом цілого, то й ці числа є квадратами цілих.

Позначивши

$\frac{c+a}{2}=m^2$

$\frac{c-a}{2}=n^2$

і виразивши a,b,c через m,n одержуємо необхідні формули.

Посилання

• Числа Піфагора на сайті MathWorld
• В.Литцман Теорема Пифагора. — М.: Физматлит, 1960.
• В. Н. Серпинский Пифагоровы треугольники. — М.: Учпедгиз, 1959.