Числа Ферма

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці числом Ферма називається число виду:

F_{n} = 2^{2^{ \overset{n} {}}} + 1

де n є невід'ємним цілим числом. Першими дев'ятьма числами Ферма є:

F0 = 21 + 1 = 3
F1 = 22 + 1 = 5
F2 = 24 + 1 = 17
F3 = 28 + 1 = 257
F4 = 216 + 1 = 65537
F5 = 232 + 1 = 4294967297
= 641 × 6700417
F6 = 264 + 1 = 18446744073709551617
= 274177 × 67280421310721
F7 = 2128 + 1 = 340282366920938463463374607431768211457
= 59649589127497217 × 5704689200685129054721
F8 = 2256 + 1 = 115792089237316195423570985008687907853269984665640564039457584007913129639937
= 1238926361552897 × 93461639715357977769163558199606896584051237541638188580280321.

Властивості[ред.ред. код]

F_{n} = (F_{n-1}-1)^{2}+1\,
F_{n} = F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2}
F_{n} = F_{n-1}^2 - 2(F_{n-2}-1)^2
F_{n} = F_{0} \cdots F_{n-1} + 2
Перша і третя рівність перевіряються за допомогою елементарних операцій.
Четверту рівність можна довести методом математичної індукції. Справді твердження очевидно вірне для n=1 : F1 = F0 +2;
Якщо припустити вірність для декого цілого n тоді:
\prod_{k=0}^n F_k = (\prod_{k=0}^{n-1} F_k)F_n =(F_n - 2)F_n=(2^{2^n} - 1)(2^{2^n} + 1)=2^{2^{n+1}} - 1=F_{n+1}-2,
що завершує доведення 4-ої рівності.
Друга рівність може бути зведена до четвертої. Справді:
F_{n-1} + 2^{2^{n-1}}F_{0} \cdots F_{n-2}=F_{n-1} + (F_{n-1} - 1)F_{0} \cdots F_{n-2}=F_{n-1}+F_{0} \cdots F_{n-1}-F_{0} \cdots F_{n-2}=F_{0} \cdots F_{n-1}+2=F_{n}
де двічі використовувала четверта рівність.
Дане твердження легко випливає з останньої рекурсії. Справді, жодне з чисел Ферма не є парним, а якщо Fn і Fi, де n>i, взаємно-прості, тоді з попереднього маємо, що F_n = F_i \cdot A +2, A \in Z. Одже їх спільний дільник має ділити 2, що неможливо для непарних чисел.
  • Жодне число Ферма не є сумою двох простих чисел, за винятком F1 = 2 + 3.
  • Правильний n-кутник можна побудувати за допомогою циркуля і лінійки тоді і лише тоді, коли n=2^r p_1 p_2\dots p_k, де p_i — різні числа Ферма. (Теорема Гауса - Ванцеля).
  • Серед чисел виду 2^n+1 простими можуть бути тільки числа Ферма. Дійсно, якщо у n є непарний дільник m>1, то згідно з теоремою Безу:
2^n+1=(2^m+1)(1-2^m+2^{2m}-\cdots+2^{n-m}),

і тому2^n+1 не є простим.

  • Простота чисел Ферма ефективно визначається за допомогою теста Папена.
  • Теорема Лукаса: всі прості дільники числа Ферма Fn, де n>1, мають вигляд k2n+2+1.

Прості числа Ферма[ред.ред. код]

Французький математик П'єр Ферма на честь якого названі дані числа висунув гіпотезу, що всі вони прості. Проте Ейлер визначив, що F5 = 4294967297 = 641 × 6700417. Зараз відомо 5 простих чисел Ферма: 3; 5; 17; 257; 65537. Відомо, що, F_n не є простими для 5 \le n \le 32. Залишаються відкритими питання про існування інших простих чисел Ферма і про скінченність чи нескінченність множини таких чисел.

Література[ред.ред. код]

  • 17 Lectures on Fermat Numbers: From Number Theory to Geometry, Michal Křížek, Florian Luca, Lawrence Somer, Springer, CMS Books 9, ISBN 0-387-95332-9

Посилання[ред.ред. код]