Число Белла

52 розбиття множини з 5 елементів

В комбінаториці числом Белла $B_{n}$ називається число всіх невпорядкованих розбиттів n-елементної множини, при цьому за означенням вважають $B_{0}=1$.

Число Белла можна обчислити як суму чисел Стірлінга другого роду:

$B_{n}=\sum _{m=0}^{n}S(n,m)$

Для чисел Белла справедлива також формула Добинського:

$B_{n}={\frac {1}{e}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!}}$.

Генератриса чисел Белла має вигляд

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {B_{n}}{n!}}x^{n}=e^{e^{x}-1}$.

Приклад

Значення чисел Белла $B_{n}$ для $n=0,1,\dots ,10$:

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, 21147, 115975, … (послідовність A000110 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS)