Бет (літера)

Єврейський алфавіт читається справа наліво
	Алеф א	Бет ב	Гімель ג	Далет ד
Хей ה	Вав ו	Заїн ז	Хет ח	Тет ט	Йод י
Каф כך	Ламед ל	Мем מם	Нун נן	Самех ס	Аїн ע
Пе פף	Цаді צץ	Куф ק	Реш ר	Шин ש	Тав ת

Бет, івр. בֵּי"ת — друга літера єврейського алфавіту. Пишеться ב. Має числове значення (гематрію) 2.

ב ב

Бет в теорії множин

В теорії множин символ $\beth_1$ (читається «бет один») позначає потужність множини, яка рівна $2^{\aleph_0}$. Відповідно, існують символи $\beth_2$, $\beth_3$ и так далі. Більш докладно — статті про потужність множин.

Зв'язок з алеф номером

Припускаючи, що аксіома вибору нескінченної потужності лінійно впорядкована, то немає двох потужностей які не можуть бути порівняні. Таким чином, оскільки, за визначенням, не є нескінченними потужності між $\aleph_0$ і $\aleph_1$ випливає, що $\beth_1 \ge \aleph_1.$ Повторюючи це міркування (див. трансфінітних індукції) отримуємо: $\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha$ для всіх ординалів $\alpha$. Континуум-гіпотеза еквівалентна $\beth_1=\aleph_1.$

Узагальнення континуум-гіпотези стверджує, що послідовність чисел Бет визначена так само, як послідовність Алеф номерів, тобто $\beth_\alpha = \aleph_\alpha$ для всіх порядкових чисел $\alpha$.

Визначення

Для визначення числа Бет, припустимо

$\beth_0=\aleph_0$

є потужність будь-якої зліченної нескінченної множини (для прикладу візьмемо множину $\mathbb{N}$ з натуральних чисел). Позначимо P(A) булеан або множину всіх підмножин множини A. Тоді визначимо

$\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},$

яка є потужністю булеану А, якщо $\beth_{\alpha}$ є потужністю А. Маючи це означення

$\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots$

є відповідно потужностями

$\mathbb{N},\ P(\mathbb{N}),\ P(P(\mathbb{N})),\ P(P(P(\mathbb{N}))),\ \dots.$.

Тоді друге число Бет $\beth_1$ дорівнює $\mathfrak c$, потужності континууму, і третє число бет $\beth_2$ — потужність булеану континууму.

Тоді за Теоремою Кантора кожен набір в попередній послідовності має потужність строго більше, ніж попередній. Для нескінченних порядкових чисел λ відповідне число Бет визначається як верхня межа чисел Бет для всіх порядкових чисел строго менших за λ:

$\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}.$

Окремі кардинальні числа

Бет-нуль

Так як за означенням це є $\aleph_0$ або алеф нуль, тоді множини з потужністю $\beth_0$ включають:

• натуральні числа N
• раціональні числа Q
• алгебраїчні числа
• множину скінченних множин цілих чисел

Бет один

Множини з потужностями $\beth_1$ включають в себе:

• трансцендентні числа
• ірраціональні числа
• дійсні числа R
• комплексні числа C
• евклідовий простір Rⁿ
• множину всіх підмножин множини натуральних чисел
• множину послідовностей цілих чисел (тобто всі функції N → Z, часто позначаються Z^N)
• множину послідовностей дійсних чисел, R^N
• множину всіх неперервних функцій з R на R
• множину скінченних підмножин дійсних чисел

Бет два

$\beth_2$ також називають 2^c. Множини з потужністю $\beth_2$ включають в себе:

• множину всіх функцій з R на R (R^R)
• множина всіх функцій з R^m на Rⁿ

Це незавершена стаття про писемність або букву. Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.