Число Каталана

Числа Каталана — числова послідовність, що зустрічається в багатьох задачах комбінаторики. Послідовність названа на честь бельгійского математика Каталана, хоча була відома ще Л. Ейлеру.

Перших декілька чисел Каталана:

1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452 … (Послідовність A000108 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Означення

n-те число Каталана $\,\! C_n$ можна визначити одним із наступних способів:

Розбиття шестикутника (C₄=14)

• Кількість розбиттів опуклого (n+2)-кутника на трикутники неперетинними діагоналями.

• Кількість правильних дужкових структур довжини 2n.

Наприклад, для n=3 існує 5 таких послідовностей:

((())), ()(()), ()()(), (())(), (()())

тобто $C_3=5$.

• Кількість способів з’єднання 2n точок на поверхні n неперетинними хордами.

· Кількість неізоморфних упорядкованих бінарних дерев з коренем з n+1 листом.

Властивості

• Числа Каталана задовольняють рекурентному співвідношенню:

$C_0 = 1\,\!$ і $\qquad C_n=\sum_{i=0}^{n-1}C_i C_{n-1-i}$ для $n\ge 1.\,\!$

Це співвідношення легко отримати, помітивши, що будь-яка непуста правильна структура однозначно представлена в формі w=(w₁)w₂, де w₁, w₂ — правильні структури.

• Генератриса для чисел Каталана:

$\sum_{n=0}^{\infty} C_n z^n = \frac{1-\sqrt{1-4 z}}{2 z}$

• Числа Каталана можна виразити через біноміальні коефіцієнти:

$C_n = \frac{1}{n+1}{2 n \choose n} = {2 n \choose n} - {2 n \choose n-1}.$

• Асимптотично $C_n \sim \frac{4^n}{n^{3/2}\sqrt{\pi}}$

Посилання

• С. К. Ландо Лекції по комбінаториці, МЦНМО, 1994.
• А. Шень. Программирование: теоремы и задачи, M: МЦНМО, 2004. (разделы 2.6 и 2.7)