Число Люка

Числа Люка задаються рекурентною формулою

$L_n = L_{n-1} + L_{n-2}$

із початковими значеннями $L_0 = 2$ и $L_1 = 1$.

Послідовність чисел Люка починається так:

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, … (Послідовність A000032 з Енциклопедії цілочисельних послідовностей)

Формула загального члена

Послідовність $L_n$ можна виразити як функцію від n:

$~L_n = \varphi^n + (-\varphi)^{-n}$

де $\varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — золотий переріз.

Узагальнення

Числа Люка можна також визначити для від’ємних індексів за формулою:

$L_{-n} = (-1)^n L_n$

Едуард Люка ввів поняття «узагальнених послідовностей Фібоначчі», частковим випадком яких є числа Фібоначчі и числа Люка

$\begin{matrix} F_n = U_n(1,-1) \\ L_n = V_n(1,-1) \end{matrix}$