Чотирикратна взаємодія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Чотирикратну взаємодію представляють у вигляді потенціального доданку -\frac{\lambda}{4!} \phi^4, що додається до лагранжіану, де φ - скалярне поле, що задовольняє рівняння Кляйна-Ґордона. Константа зв'язку λ в 4-вимірному просторі-часі безрозмірна. Далі в статті використовується метрика Мінковського з сигнатурою (+ - - -).

Лагранжіан[ред.ред. код]

Лагранжіан дійсного скалярного поля записують у вигляді:

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi -\frac{m^2}{2}\phi^2 -\frac{\lambda}{4!}\phi^4.

Для копмлексного поля:

\mathcal{L}=\partial^\mu \phi^* \partial_\mu \phi -m^2 \phi^* \phi -\frac{\lambda}{4}(\phi^* \phi)^2.

Для N дійсних скалярних полів можна отримати φ4-модель з глобальною SO(N)-симетрією:

\mathcal{L}=\frac{1}{2}\partial^\mu \phi_a \partial_\mu \phi_a - \frac{m^2}{2}\phi_a \phi_a -\frac{\lambda}{8}(\phi_a \phi_a)^2.

Виконуючи продовження комплексного поля на дійсну та уявну частини можна показати еквівалентність до SO(2)-моделі дійсного скалярного поля.

У всіх вищезазначених моделях константа зв'язку λ повинна бути дійсною та додатньою. Дійсною для забезпечення унітарності. А додатньою для того, щоб існувала нижня границя енергії, тобто, щоб існував стабільний вакуум. В 4-вимірному просторі φ4-теорії мають полюси Ландау. Це означає, що без обрізання на великих масштабах енергії ренормалізація робитиме теорії тривіальною.

Ренормалізація[ред.ред. код]

Докладніше: Перенормування

Інтеграли над довільним моментами, так звані петлеві інтеграли, згідно Діаграма Фейнмана, розходяться. Це залежить від ренормалізації, що являє собою процедуру додавання до лагранжіану збіжних контр-членів таким чином, що діаграми, побудовані з вихідного лагранжіану та контр-членів, є фінітними. Масштаб ренормалізації повинен бути відображеним в процесі і константа взаємодії та маса стають від нього залежними. Це саме та залежність, що призводить до появи, вже згаданих вище, полюсів Ландау і вимагає, щоб обрізання зберігало скінченність. Проте, якщо обрізання дозволяє нескінченність, полюс Ландау буде лише тоді, коли константа ренормування прямує до нуля, роблячи теорію тривіальною.

Спонтанне порушення симетрії[ред.ред. код]

Цікава ситуація виникає, коли квадрат маси m2 від'ємний, а λ додатне. В такому випадку вакуум складається з двох станів з найнижчою енергією, кожен з яких спонтанно порушує Z2 симетрію вихідної теорії. Це призводить до виникнення цікавих колективних станів типу доменних стін. В O(2)-теорії вакууми можуть лежати на колі і вибір одного з них спонтанно порушуватиме O(2)-теорію. Неперервно порушена симетрія призводить до виникнення Ґолдстоунівських бозонів. Цей варіант спонтанного порушення симетрії є суттєвою складовою механізму Ґіґґса.

Див. також[ред.ред. код]

Література[ред.ред. код]

  • 't Hooft, G., "The Conceptual Basis of Quantum Field Theory" (online version).
  • Ramond, Pierre (2001-12-21). Field Theory: A Modern Primer (Second Edition). USA: Westview Press.
  • Zuber, Jean-Bernard (2006-02-24). Quantum Field Theory.
Фізика Це незавершена стаття з фізики.
Ви можете допомогти проекту, виправивши або дописавши її.