Ядерна оцінка щільності розподілу

Ядерна оцінка щільності розподілу ста нормально розподілених випадкових чисел з використанням різних параметрів згладжування.

В статистиці, ядерна оцінка щільності розподілу (англ. Kernel density estimation) — це непараметричний метод оцінки функції щільності випадкової величини за вибіркою. Ядерна оцінка щільності є важливою задачею згаладжування даних; при застосуванні методу судження щодо статистичних властивостей популяції здійснюється на базі скінченної вибірки. В деяких галузях (таких як обробка сигналів, економетрика) поряд з ядерною оцінкою щільності використовують назву Вікно Парцель-Розенблата, на честь Емануеля Парцена та Мюрея Розенблата котрі незалежно один від одного створили метод в теперішній його формі.

Визначення

Нехай (x₁, x₂, …, x_n) — вибірка н.о.р.в.в. отримана з деякого розподілу з невідомою щільністю ƒ. Потрібно оцінити форму цієї функції ƒ. Ядерна оцінка цієї щільності ƒ задається формулою

$\hat{f}_h(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) \quad = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big),$

де K(·) — статистичне ядро — симетрична, але не обов'язково додатня функція з інтегралом рівним одиниці, h > 0 — параметр згладжування, який ще називають пропускною здатністю.

Практичне обчислення параметру згладжування

Якщо використовується гаусівські ядрові функції для оцінки одновимірних даних і оцінювана базова щільність є стандартною нормальною, тоді можна показати, що оптимальним значенням параметру згладжування, h, є

$h = \left(\frac{4\hat{\sigma}^5}{3n}\right)^{\frac{1}{5}} \approx 1.06 \hat{\sigma} n^{1/5}$, де $\hat{\sigma}$ — стандартне відхилення вибірки, що оцінюється.

Таке наближення називається нормально розподілене наближення (або гаусівське наближення).