Ядро матриці

Ядро матриці A розміру m × n, це множина

$\text{Ker}(\mathbf{A}) = \left\{ \textbf{x}\in\textbf{R}^n : \mathbf{Ax} = \textbf{0} \right\}$

Матрицю $\mathbf{A}$ можна розглядати як матрицю лінійного відображення із простору розмірності n в простір розмірності m.

Для знаходження ядра матриці потрібно розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад [ред.]

Розглянемо матрицю

$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}.$

Нульовий простір цієї матриці утворють всі вектори (x, y, z) ∈ R³ для яких

$\begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\text{.}$

Це можна записати в вигляді однорідної системи лінійних рівнянь із шуканими x, y і z:

$\begin{alignat}{7} 2x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& 5z &&\; = \;&& 0, \\ -4x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 0.\\ \end{alignat}$

І далі у вигляді матриці:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 2 & 3 & 5 & 0 \\ -4 & 2 & 3 & 0 \end{array}\right].$

Із використанням метода Жордана Гауса, переходимо до:

$\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & .0625 & 0 \\ 0 & 1 & 1.625 & 0 \end{array}\right].$

Отже:

$\begin{alignat}{7} x = \;&& -.0625c \\ y = \;&& -1.625c. \end{alignat}$

Тепер ми можемо записати нульовий простір (розв'язки Ax = 0) в термінах c (яка є нашою вільною змінною), де c є скаляром:

$\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}\,\,\,-.0625 \\ -1.625 \\ 1\end{bmatrix}.$

Нульовий простір A збігається з множиною розв'язків цих рівнянь (в цьому випадку, пряма через початок координат в R³).