Ядро матриці

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ядро матриці A розміру m × n, це множина

\text{Ker}(\mathbf{A}) = \left\{ \textbf{x}\in\textbf{R}^n : \mathbf{Ax} = \textbf{0} \right\}

Матрицю \mathbf{A} можна розглядати як матрицю лінійного відображення із простору розмірності n в простір розмірності m.

Для знаходження ядра матриці потрібно розв'язати однорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь.

Приклад[ред.ред. код]

Розглянемо матрицю

\mathbf{A} = \begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}.

Нульовий простір цієї матриці утворють всі вектори (xyz) ∈ R3 для яких

\begin{bmatrix}\,\,\,2 & 3 & 5 \\ -4 & 2 & 3\end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}\text{.}

Це можна записати в вигляді однорідної системи лінійних рівнянь із шуканими x, y і z:

\begin{alignat}{7}
 2x &&\; + \;&& 3y &&\; + \;&& 5z &&\; = \;&& 0, \\
-4x &&\; + \;&& 2y &&\; + \;&& 3z &&\; = \;&& 0.\\
\end{alignat}

І далі у вигляді матриці:


  \left[\begin{array}{ccc|c}
    2 & 3 & 5 & 0 \\
    -4 & 2 & 3 & 0
  \end{array}\right].

Із використанням метода Жордана Гауса, переходимо до:


  \left[\begin{array}{ccc|c}
    1 & 0 & .0625 & 0 \\
    0 & 1 & 1.625 & 0
  \end{array}\right].

Отже:

\begin{alignat}{7}
 x = \;&& -.0625c \\
y = \;&& -1.625c.
\end{alignat}

Тепер ми можемо записати нульовий простір (розв'язки Ax = 0) в термінах c (яка є нашою вільною змінною), де c є скаляром:

\begin{bmatrix} x \\ y \\ z\end{bmatrix} = c \begin{bmatrix}\,\,\,-.0625 \\ -1.625 \\ 1\end{bmatrix}.

Нульовий простір A збігається з множиною розв'язків цих рівнянь (в цьому випадку, пряма через початок координат в R3).

Див. також[ред.ред. код]

Джерела[ред.ред. код]