Ядро (статистика)

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Ядро або ядрова функція — це вагова функція, що використовується в непараметричних методах оцінки. Ядра використовуються при ядерній оцінці щільності розподілу для оцінки густини випадкової величини, чи в ядерній регресії для оцінки умовного математичного сподівання випадкової величини. Ядра також використовуються в часових рядах в якості переіодограм для оцінки спектральної щільності. Додаткового використання ядра набули в оцінці інтенсивності точкового процесу зміної в часі.

Визначення[ред.ред. код]

Ядром називається невід'ємна дійснозначна інтегровна функція K, яка задовольняє дві наступні властивості:

  • \int_{-\infty}^{+\infty}K(u)\,du = 1\,;
  • K(-u) = K(u)\ \forall\  u\,.

Перша умова гарантує, що метод ядерної оцінки щільності розподілу дійсно дає густину випадкової величини. Друга — гарантує, що середнє значення знайденого розподілу дорівнює середньому значенню вибірки для якої оцінюють густину.

Якщо K — ядро, тоді функція K* визначена таким чином K*(u) = λ−1K−1u), де λ > 0 також є ядерною функцією. Цю властивість можна використати для вибору масштабу максимально узгодженого з даними.

Використання ядер[ред.ред. код]

Звичайно використовують кілька видів ядрових функцій: рівномірну, трикутну, Епанечнікова, Четвертинну (двоточкову), кубічну (триточкову), Гауса та косинусну.

В таблиці нижче, 1{…}характеристична функція.

Ядрові функції, K(u) \textstyle \int u^2K(u)du \textstyle \int K^2(u)du
Рівномірна K(u) = \frac12 \,\mathbf{1}_{\{|u|\leq1\}} Kernel uniform.svg   \frac13   \frac12
Трикутна K(u) = (1-|u|) \,\mathbf{1}_{\{|u|\leq1\}} Kernel triangle.svg   \frac{1}{6}   \frac{2}{3}
Епанечнікова K(u) = \frac{3}{4}(1-u^2) \,\mathbf{1}_{\{|u|\leq1\}} Kernel epanechnikov.svg   \frac{1}{5}   \frac{3}{5}
Четвертинна
(двоточкова)
K(u) = \frac{15}{16}(1-u^2)^2 \,\mathbf{1}_{\{|u|\leq1\}} Kernel quartic.svg   \frac{1}{7}   \frac{5}{7}
Кубічна
(триточкова)
K(u) = \frac{35}{32}(1-u^2)^3 \,\mathbf{1}_{\{|u|\leq1\}} Kernel triweight.svg   \frac{1}{9}   \frac{350}{429}
Гауса K(u) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}u^2} Kernel exponential.svg   1\,   \frac{1}{2\sqrt\pi}
Косинус K(u) = \frac{\pi}{4}\cos\left(\frac{\pi}{2}u\right) \mathbf{1}_{\{|u|\leq1\}} Kernel cosine.svg   1-\frac{8}{\pi^2}   \frac{\pi^2}{16}


Графіки вищенаведених функцій

Див. також[ред.ред. код]


Джерела[ред.ред. код]

  • Li, Qi; Racine, Jeffrey S. (2007). Nonparametric Econometrics: Theory and Practice. Princeton University Press. ISBN 0691121613. 

Посилання[ред.ред. код]