Якобіан

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

При заміні змінних $u_i = u_i(x_1, \ldots, x_j, \ldots, x_m)$ Якобіан визначається як

$J= \left| \begin{matrix} \dfrac{\partial u_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial u_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial u_m}{\partial x_n} \end{matrix} \right|.$

Якобіан використовується при зміні змінних при інтегруванні:

$du_1 \cdot \ldots du_m = |J| dx_1 \cdot \ldots dx_m$ .

Крім позначення літерою J використовується також позначення

$J = \frac{D(u_1, \ldots,u_m )}{D(x_1, \ldots,x_m )}$ .

Якобіан має ряд властивостей, подібних на властивості похідної. Зокрема

$\frac{D(u_1, \ldots,u_m )}{D(t_1, \ldots,t_m )} = \frac{D(u_1, \ldots,u_m )}{D(x_1, \ldots,x_m )} \frac{D(x_1, \ldots,x_m )}{D(t_1, \ldots,t_m )}$ .

$\frac{D(u_1, \ldots,u_m )}{D(x_1, \ldots,x_m )} = \frac{1}{\frac{D(x_1, \ldots,x_m )}{D(u_1, \ldots,u_m )}}$ .

[ред.] Приклад

У сферичній системі координат

$x = r \sin\theta \cos\varphi$

$y = r \sin\theta \sin\varphi$

$z = r \cos\theta \,$

Якобіан дорівнює

$J = \left| \begin{matrix} \sin\theta \cos\varphi & r \cos\theta \cos\varphi & - r \sin\theta \sin\varphi \\ \sin\theta \sin\varphi & r \cos\theta \sin\varphi & r \sin\theta \cos\varphi \\ \cos\theta & -r \sin\theta & 0 \end{matrix} \right| = r^2 \sin\theta$