*-алгебра

*-алгебра (алгебра з інволюцією, алгебра з операцією спряження) — асоціативна алгебра з інволюцією, що має властивості подібні до комплексного спряження.

*-кільце

*-кільце — кільце з унарною операцією * яка є

• антиавтоморфізмом, тобто

$\ (x + y)^* = x^* + y^*$

$\ (x y)^* = y^* x^*$

$\ 1^* = 1$

• та інволюцією, тобто

$\ (x^*)^* = x.$

Таке кільце ще називається — кільце з інволюцією.

*-алгебра

*-алгебра A це *-кільце, що є асоціативною алгеброю над іншим *-кільцем R, з узгодженням операції * в $R \subset A.$

Базове *-кільце це, зазвичай, комплексні числа (де * — комплексне спряження).

Тоді * є спряжено-лінійним, тобто

$(\lambda x+ \mu y)^* = \lambda^* x^* + \mu^* y^* \quad \lambda, \mu \in R; \;\; x,y \in A$.

*-гомоморфізм $\ f: A \to B$ є гомоморфізм алгебр що відображає інволюцію в A на інволюцію в B, тобто:

$f(x^*) = f(x)^* \quad \forall x \in A.$

---

• Елементи для яких $\ x^*= x$ називаються само-спряженими, симетричними або ермітовими.
• Елементи для яких $\ x^*=-x$ називаються косо-спряженими, анти-симетричними або анти-ермітовими.
• Можна визначити сесквілінійну форму за допомогою операції * у виді $\phi(x,y) = x^* \cdot y$.

C*-алгебра

C*-алгебра — Банахова *-алгебра, для якої виконується C*–властивість:

$\|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|,$

$\|x x^* \| = \|x\|\|x^*\|.$

Обидві умови є еквівалентними.

Також вони еквівалентні В*–властивості

$\|x x^* \| = \|x\|^2.$

Приклади

• Найвідомішим прикладом є комплексні числа $\C$ з операцією спряження.
• За допомогою процедури Кейлі-Діксона утворюються алгебри з операцією спряження: комплексні числа, кватерніони, октави.
• Квадратні матриці з комплексними елементами з операцією ермітового спряження.
• Ермітове спряження лінійного оператора в Гільбертовому просторі.

Властивості

Багато властивостей спряження для комплексних чисел зберігаються в *-алгебрах:

• Якщо для 2 в алгебрі існує обернений елемент, тоді $\frac12(1-*)$ та $\frac12(1+*)$ є ортогональними ідемпотентами. Якщо їх вибрати в базис, то алгебра як векторний простір розкладається в пряму суму підпросторів з симетричних та анти-симетричних (ермітових та анти-ермітових) елементів.
• Ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Йордана.
• Анти-ермітові елементи *-алгебри утворюють алгебру Лі.

Дивись також

• Нормована алгебра з діленням