AKS тест простоти

AKS тест простоти (також відомий як Агравал-Кайал-Саксена тест простоти та циклотомічний AKS тест) є детермінованим алгоритмом доведення простоти, розробленим та опублікованим трьома індійськими науковцями Маніндрою Агравалом, Ніраєм Кайалом та Нітіном Саксеною 6 серпня 2002р. в статті «PRIMES is in P»(«Перевірка простоти належить до класу P»).^[1] Автори отримали за цю роботу у 2006 премію Геделя.

Алгоритм, який невдовзі був вдосконалений іншими, визначає чи є число простим чи складеним і виконується за поліноміальний час.

Важливість

Ключове значення AKS полягає в тому, що це перший опублікований алгоритм, який одночасно є поліноміальний, детермінований та не спирається ні на які недоведені припущення. Тобто, максимальний час виконання алгоритму можна виразити як поліном від числа розрядів тестованого числа; він ґарантує вирішення задачі: є число простим чи складеним (а не отримання ймовірнісного результату); і його коректність не залежить від коректності якоїсь допоміжної недоведеної гіпотези (наприклад, гіпотези Рімана).

Підґрунтя тесту

AKS тест простоти ґрунтується на конгруенції

$(x - a)^{n} \equiv (x^{n} - a) \pmod{n}$

яка виконується тоді і тільки тоді, коли n просте. Це узагальнення малої теореми Ферма поширеної на поліноми. Її можна легко довести, використовуючи біноміальну теорему та факт, що :${n \choose k} \equiv 0 \pmod{n}$ для всіх 0 < k < n якщо n просте. Хоч ця рівність сама по собі є тестом простоти, її перевірка вимагає експоненційний час. Тому AKS використовує пов’язану з попередньою конгруенцію

$(x - a)^{n} \equiv (x^{n} - a) \pmod{n, x^{r} - 1}$

яку можна перевірити за поліноміальний час. Проте, ця конгруенція виконується не тільки для всіх простих чисел, але й для деяких складених. Доведення коректності AKS полягає в такому: показати існування відповідного малого r та відповідної малої множини цілих чисел A таких, що коли конгруенція виконується для всіх a в A, то n мусить бути простим. Алгоритм тестування простоти деякого цілого числа n складається з двох частин. Перший крок знаходить таке відповідне просте $r = kq + 1$, що:

• $P(r - 1) = q$ де $P(x)$ найбільший простий дільник числа $x$,
• $q \ge 4 \sqrt{r} \log_{2}(n),$
• $n^k \not\equiv 1 \pmod{r}.$

Під час цього кроку важливо перевірити, що n не ділиться ні на яке просте $p \le r$; якщо це не так, то алгоритм можна негайно перервати з повідомленням: n складене. На другому кроці, виконується низка перевірок в скінченному полі $GF(n^r)$, кожен раз перевіряється рівність двох поліномів над цим полем: якщо

$(x - a)^{n} \equiv (x^{n} - a) \pmod{n, x^{r} - 1}$

для всіх додатніх цілих чисел a з

$a \le 2 \sqrt{r} \log_{2}(n),$

то n ґарантовано є простим. У всіх інших випадках воно складене. Як і для інших таких алгоритмів, стаття стосується встановлення двох фактів: доведення коректності алгоритму та оцінки його асимптотичної часової складності. Це досягнуто доведенням двох ключових фактів, по-перше, показано що підхоже r можна завжди знайти й встановленням верхньої границі його величини, по-друге, показано, що перевірки низки рівностей у другій частині алгоритму достатньо для гарантування розрізнювання: n просте чи складене. Оскільки час виконання обидвох частин алгоритму повністю залежить від величини r, отримання верхньої границі для r було достатнім, щоб показати, що асимптотична часова складність алгоритму рівна O$(\log^{12+\epsilon}(n))$, де ε мале дійсне число. Іншими словами, алгоритм потребує менше часу, ніж константа помножена на дванадцятий (плюс ε) степінь числа розрядів в n. Проте, доведена в роботі верхня межа значно завищена, насправді, виконання припущення про розподіл простих чисел Софі-Жермен негайно зменшило б оцінку до O$(\log^{6+\epsilon}(n))$. У наступні після відкриття місяці з’явилися нові варіанти (Ленстра 2002, Померанце 2002, Берізбейтіа 2003, Ченг 2003, Бернштейн 2003a/b, Ленстра та Померанце 2003), які покращили швидкість на кілька порядків. Через існування багатьох варіантів, Крандел та Пападопоулос посилаються на "AKS-клас" алгоритмів у своїй науковій роботі "On the implementation of AKS-class primality tests" ("Про реалізацію тестів простоти з AKS-класу"), опублікованій у березні 2003р.

AKS оновлений

У відповідь на деякі з цих варіантів та інші зауваження стаття "PRIMES is in P" була повторно опублікована з новим формулюванням AKS алгоритму та доведенням його коректності. Хоча основна ідея залишилася тією ж, r вибирається по-іншому й доведення коректності виконано більш прозоро. Попереднє доведення спиралося на багато різних методів, а нова версія використовує майже виключно поведінку циклотомічних поліномів над скінченними полями. AKS алгоритм знову складається з двох частин, і перший полягає в знаходженні відповідного r; проте, у новій версії r є таким найменшим додатнім цілим, що: $o_r(n) > \log^2 n,$ На другому кроці знову перевіряється конгруенція

$(x - a)^{n} \equiv (x^{n} - a) \pmod{n, x^{r} - 1}$

У цьому разі для всіх додатніх цілих менших від $\sqrt{\phi(r)} \log_{2}(n)$ де $\phi(r)$ - значення функції Ейлера для r. Ці зміни спростили хід доведення коректності. Вони також дозволили зменшити границю часової складності, яка тепер рівна O$(\log^{10.5}n)$.

Ленстра та Померанце показали^[2] як вибрати поліноми в тесті, щоб досягти часової границі O$(\log^6n)$.

Література

1. ^ Manindra Agrawal, Neeraj Kayal, Nitin Saxena, «PRIMES is in P», Annals of Mathematics 160 (2004), no. 2, pp. 781-793.
2. ^ H. W. Lenstra, Jr. and Carl Pomerance, «Primality Testing with Gaussian Periods», preliminary version July 20, 2005.

Зовнішні зв’язки

• R. Crandall, Apple ACG, and J. Papadopoulos (March 18, 2003): On the implementation of AKS-class primality tests (PDF)
• Article by Borneman, містить фото й інформацію про трьох індійських вчених (PDF)
• Andrew Granville: It is easy to determine whether a given integer is prime
• The Prime Facts: From Euclid to AKS, by Scott Aaronson (PDF)
• The «PRIMES is in P» FAQ