F-алгебра

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

У математиці, і особливо у теорії категорій, F-алгебра — це алгебраїчна структура, пов'язана з функтором F.

Визначення[ред.ред. код]

F-алгеброю ендофунктора

F : \mathcal{C}\longrightarrow \mathcal{C}

називаєтся об'єкт A з \mathcal{C} разом з морфізмом у \mathcal{C}

\alpha : FA \longrightarrow A.

Таким чином, F-алгебра — це пара (A, \alpha).

Гомоморфізмом з F-алгебри (A, \alpha) у F-алгебру (B, \beta) называється морфізм у \mathcal{C}

f : A \longrightarrow B,

для якого виконується

f \circ \alpha = \beta \circ Ff

Для будь-якого заданого ендофунктора F можна розглянути категорію, об'єктами якої є F-алгебри, а морфізмами — гомоморфізми між F-алгебрами.

Приклади[ред.ред. код]

Для прикладу, розглянемо ендофунктор F : Set \to Set, який відображає множину X у 1 + X. Тут Set є категорією множин, 1 є скінченим об'єктом категорії Set (будь-яка одноелементна множина), а + — операція кодобутку (диз'юнктне об'єднання). Тоді множина N натуральних чисел разом з функцією [\mathrm{zero},\mathrm{succ}] : 1+\mathbb{N} \to \mathbb{N}, яка є кодобутком функцій \mathrm{zero} : 1 \to \mathbb{N} (котра завжди повертає 0) та \mathrm{succ} : \mathbb{N} \to \mathbb{N} (котра відображає n у n+1), є F-алгеброй.