F-алгебра

У математиці, і особливо у теорії категорій, $F$-алгебра — це алгебраїчна структура, пов'язана з функтором $F$.

Визначення

$F$-алгеброю ендофунктора

$F : \mathcal{C}\longrightarrow \mathcal{C}$

називаєтся об'єкт $A$ з $\mathcal{C}$ разом з морфізмом у $\mathcal{C}$

$\alpha : FA \longrightarrow A$.

Таким чином, $F$-алгебра — це пара $(A, \alpha)$.

Гомоморфізмом з $F$-алгебри $(A, \alpha)$ у $F$-алгебру $(B, \beta)$ называється морфізм у $\mathcal{C}$

$f : A \longrightarrow B$,

для якого виконується

$f \circ \alpha = \beta \circ Ff$

Для будь-якого заданого ендофунктора $F$ можна розглянути категорію, об'єктами якої є $F$-алгебри, а морфізмами — гомоморфізми між $F$-алгебрами.

Приклади

Для прикладу, розглянемо ендофунктор $F : Set \to Set$, який відображає множину $X$ у $1 + X$. Тут $Set$ є категорією множин, $1$ є скінченим об'єктом категорії $Set$ (будь-яка одноелементна множина), а $+$ — операція кодобутку (диз'юнктне об'єднання). Тоді множина N натуральних чисел разом з функцією $[\mathrm{zero},\mathrm{succ}] : 1+\mathbb{N} \to \mathbb{N}$, яка є кодобутком функцій $\mathrm{zero} : 1 \to \mathbb{N}$ (котра завжди повертає 0) та $\mathrm{succ} : \mathbb{N} \to \mathbb{N}$ (котра відображає n у n+1), є $F$-алгеброй.