P-група

У математиці p-групою, де p  — просте число, називається група в якій порядок кожного елемента є степенем числа p, тобто для кожного елемента g існує натуральне число n, що gⁿ=1. Якщо група скінченна, то її порядок тоді теж рівний деякій степені числа p (це випливає з першої теореми Силова). В основному інтерес представляють саме скінченні p-групи.

Центр p-групи

Однією з найважливіших властивостей скінченних p-груп є наступна теорема:

• Центр нетривіальної скінченної p-групи є нетривіальною групою.

Доведення

Візьмемо деяку p-групу G ($|G| = p^k$) і задамо дію групи G на множині G:

$~\phi\colon G\times G \to G; \phi(g,x)=gxg^{-1}$

Спершу доведемо, що орбіта довільного елемента складається лише з того елемента тоді і лише тоді коли даний елемент належить до центру групи:

$\forall_{x\in G}|G(x)| = 1 \iff x \in Z(G)$

Візьмемо довільний $g\in G$. Тоді:

$gxg^{-1}=x=gg^{-1}x \iff gxg^{-1} = gg^{-1}x \iff x \in Z(G)$

Далі доведемо, що якщо деяка орбіта має більш ніж один елемент то її потужність ділиться на p:

$\forall_{x\in G}|G(x)| > 1 \Rightarrow p | |G(x)|$

Припустимо, що для $x \in G$ маємо $|G(x)| > 1$. Оскільки стабілізатор $G_x$ є підгрупою G, то згідно з теоремою Лагранжа кількість його елементів ділить кількість елементів G , отже $|G_x|=p^l,l>0$. Далі:

$|G(x)| = |G:G_x| = \frac{|G|}{|G_x|} = \frac{p^k}{p^l} = p^{k-l}$

G є об'єднанням орбіт:

$G = \bigcup G(x) = \bigcup_{|G(x)| = 1}G(x) \cup \bigcup_{|G(x)| > 1}G(x)$

Звідси отримуємо:

$p^k = |G| = \sum\limits_{|G(x)|=1}|G(x)| + \sum\limits_{|G(x)|>1}G(x)=|Z(G)| + \sum_{i=1}{s}p^{a_i}$

де s  — кількість орбіт, що містять більше одного елемента, а всі a_i більше нуля. З останньої формули одержуємо, що |Z(G)| ділиться на p.

Властивості

• Якщо $H$ нормальна в $P$, то $|H\cap Z(P)|>1$.

Дана властивість одержується з теореми про центр, якщо врахувати, що будь-яка підгрупа p-групи сама є p-групою і що нормальна підгрупа інваріантна до спряжень. Тому в попередньому доведенні можна взяти H замість P і $H \cap Z(P)$ замість Z(P).

• Усі p-групи є нільпотентними.

Скінченні p-групи невеликих порядків

Число різних $p$-групп порядку $p^n$

• Число неізоморфних груп порядку $p$ рівне 1: група $C_{p}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^2$ рівно 2: групи $C_{p^2}$ і $C_{p}\times C_{p}$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^3$ рівне 5, з них три абелеві: $C_{p^3}$, $C_{p^2}\times C_{p}$, $C_{p}\times C_{p}\times C_{p}$ і дві неабелеві: при $p>2$ — $E_{p^3}^+$ і $E_{p^3}^-$; при p = 2 — $D_8$, $Q_8$.
• Число неізоморфних груп порядку $p^4$ рівне 15 при $p>2$, число груп порядку $2^4$ рівне 14.
• Число неізоморфних груп порядку $p^5$ рівне $2p + 61 + 2GCD(p-1,3) + GCD(p-1,4)$ при $p\geq 5$. Число груп порядку $2^5$ рівне 51, число груп порядку $3^5$ рівне 67.
• Число неізоморфних груп порядку $p^6$ рівне $3p^2 + 39p + 344 + 24GCD(p-1,3)+ 11GCD(p-1,4)+ 2GCD(p-1,5)$ при $p\geq 5$. Число груп порядку $2^6$ рівне 267, число груп порядку $3^6$ рівне 504.
• Число неізоморфних груп порядку $p^7$ рівне $3p^5+12p^4+44p^3+170p^2+707p+2455+(4p^2+44p+291)GCD(p-1,3)+(p^2+19p+135)GCD(p-1,4)+(3p+31)GCD(p-1,5)+4GCD(p-1,7)+5GCD(p-1,8)+GCD(p-1,9)$ при $p>5$. Число груп порядку $2^7$ рівне 2328, число груп порядк $3^7$ рівне 9310, число груп порядку $5^7$ рівне 34297.

p-групи порядку pⁿ, асимптотика

При $n\rightarrow\infty$ число неізоморфних груп порядку $p^n$ асимптотично рівне $p^{(2/27+O(n^{-1/3}))n^3}$.

Література

• Курош А.Г. (1967). Теория групп (вид. третє). Москва: Наука. с. 648. ISBN 5-8114-0616-9. 
• Холл М. Теория групп. Издательство иностранной литературы — М., 1962.
• Gorenstein D. Finite groups — N.Y.: Harper and Row, 1968.