Signum-функція

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук
Графік функції y = sgn(x)
Комплексний варіант

Signum-функція (також функція знаку, sign-функція, функція sgn(x)) — математична функція дійсної змінної, що визначається такими співвідношеннями:

\sgn(x) = \begin{cases} \ \ 1, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}

Властивості[ред.ред. код]

  • Для кожного дійсного числа виконується рівність:
 x = \sgn(x) \cdot |x|\,. \qquad \qquad (1)
  • Для всіх дійсних крім нуля:
 {d |x| \over dx} =  \sgn(x) \,.
  • Похідна Signum-функції рівна нулю всюди за винятком нуля, де вона невизначена. Проте розглядаючи узагальнені функції можна записати:
 {d \ \sgn(x) \over dx} = 2 \delta(x) \,.

де \delta(x)  — дельта-функція Дірака.

 \sgn(x) = 2 H_{1/2}(x) - 1 \,,

Комплексний випадок[ред.ред. код]

Signum-функцію можна узагальнити для комплексного випадку прийнявши:

\sgn(z) = \frac{z}{|z|}

де z не рівне нулю. Таким чином значення Signum-функції буде найближчою точкою на одиничному колі комплексної площини до точки, що представляє значення аргументу(див. рисунок). Виконується співвідношення:

\sgn(z) = \exp(i\arg z)\,,

Як правило також приймається sgn 0 = 0.

Іншим узагальненням є функція csgn визначена:


 \operatorname{csgn}(z)= \begin{cases}
 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\
 -1 & \text{if } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\
 0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. 
\end{cases}

Див. також[ред.ред. код]