Signum-функція

Графік функції y = sgn(x)

Комплексний варіант

Signum-функція (також функція знаку, sign-функція, функція sgn(x)) — математична функція дійсної змінної, що визначається такими співвідношеннями:

$\sgn(x) = \begin{cases} \ \ 1, & x > 0 \\ \ \ 0, & x = 0 \\ -1, & x < 0 \end{cases}$

Властивості

• Для кожного дійсного числа виконується рівність:

$x = \sgn(x) \cdot |x|\,. \qquad \qquad (1)$

• Для всіх дійсних крім нуля:

${d |x| \over dx} = \sgn(x) \,.$

• Похідна Signum-функції рівна нулю всюди за винятком нуля, де вона невизначена. Проте розглядаючи узагальнені функції можна записати:

${d \ \sgn(x) \over dx} = 2 \delta(x) \,.$

де $\delta(x)$  — дельта-функція Дірака.

• Signum-функцію можна визначити через функцію Хевісайда:

$\sgn(x) = 2 H_{1/2}(x) - 1 \,,$

Комплексний випадок

Signum-функцію можна узагальнити для комплексного випадку прийнявши:

$\sgn(z) = \frac{z}{|z|}$

де z не рівне нулю. Таким чином значення Signum-функції буде найближчою точкою на одиничному колі комплексної площини до точки, що представляє значення аргументу(див. рисунок). Виконується співвідношення:

$\sgn(z) = \exp(i\arg z)\,,$

Як правило також приймається sgn 0 = 0.

Іншим узагальненням є функція csgn визначена:

$\operatorname{csgn}(z)= \begin{cases} 1 & \text{if } \Re(z) > 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) > 0), \\ -1 & \text{if } \Re(z) < 0 \vee (\Re(z) = 0 \land \Im(z) < 0), \\ 0 & \text{if } \Re(z)=\Im(z)=0. \end{cases}$

Див. також

• Функція Хевісайда
• Дельта-функція Дірака