T-розподіл Стьюдента

t-Стьюдента
	Щільність розподілу;
	Функція розподілу ймовірностей;
Параметри	ν > 0 ступені свободи (дійсне)
Носій функції
Розподіл ймовірностей
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	; де 2F1 це гіпергеометрична функція
Середнє	0 для ν > 1, інакше невизначено
Медіана	0
Мода	0
Дисперсія	для , інакше невизначено
Коефіцієнт асиметрії	0 для ν > 3
Коефіцієнт ексцесу	для
Ентропія	ψ: дигама-функція,; B: бета-функця;
Твірна функція моментів (mgf)	(не визначено)
Характеристична функція	Kν(x): бесселівська функція,; див.

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Перейти до: навігація, пошук

У теорії ймовірностей та статистиці, t-розподіл чи t-розподіл Ст'юдента це різновид розподілу ймовірностей яка виникає у задачі оцінки сподіваного значення нормально розподіленої популяції, коли розмір вибірки малий. Цей розподіл є основою попурялного t-тесту Ст'юдента статистичної значущості різниці математичного сподівання двох вибірок, та інтервалу певності різниці очікуваних значень двох вибірок. t-розподіл Ст'юдента є також частковим випадком узагальненого гіперболічного розподілу.

[ред.] Таблиця вибраних значень

Наступна таблиця містить кілька вибраних значень цього розподілу, з r ступенями свободи для інтервалів певнисті 90%, 95%, 97.5% та 99.5%. Ці числа "односторонні", тобто коли ми бачимо "90%", "4 ступенів свободи", та "1.533",

це означає Pr(T < 1.533) = 0.9;

це не означає Pr(−1.533 < T < 1.533) = 0.9.

Тому, по симетрії розподілу, ми маємо

Pr(T < −1.533) = Pr(T > 1.533) = 1 − 0.9 = 0.1,

та в результаті

Pr(−1.533 < T < 1.533) = 1 − 2(0.1) = 0.8.

r	75%	80%	85%	90%	95%	97.5%	99%	99.5%	99.75%	99.9%	99.95%
1	1.000	1.376	1.963	3.078	6.314	12.71	31.82	63.66	127.3	318.3	636.6
2	0.816	1.061	1.386	1.886	2.920	4.303	6.965	9.925	14.09	22.33	31.60
3	0.765	0.978	1.250	1.638	2.353	3.182	4.541	5.841	7.453	10.21	12.92
4	0.741	0.941	1.190	1.533	2.132	2.776	3.747	4.604	5.598	7.173	8.610
5	0.727	0.920	1.156	1.476	2.015	2.571	3.365	4.032	4.773	5.893	6.869
6	0.718	0.906	1.134	1.440	1.943	2.447	3.143	3.707	4.317	5.208	5.959
7	0.711	0.896	1.119	1.415	1.895	2.365	2.998	3.499	4.029	4.785	5.408
8	0.706	0.889	1.108	1.397	1.860	2.306	2.896	3.355	3.833	4.501	5.041
9	0.703	0.883	1.100	1.383	1.833	2.262	2.821	3.250	3.690	4.297	4.781
10	0.700	0.879	1.093	1.372	1.812	2.228	2.764	3.169	3.581	4.144	4.587
11	0.697	0.876	1.088	1.363	1.796	2.201	2.718	3.106	3.497	4.025	4.437
12	0.695	0.873	1.083	1.356	1.782	2.179	2.681	3.055	3.428	3.930	4.318
13	0.694	0.870	1.079	1.350	1.771	2.160	2.650	3.012	3.372	3.852	4.221
14	0.692	0.868	1.076	1.345	1.761	2.145	2.624	2.977	3.326	3.787	4.140
15	0.691	0.866	1.074	1.341	1.753	2.131	2.602	2.947	3.286	3.733	4.073
16	0.690	0.865	1.071	1.337	1.746	2.120	2.583	2.921	3.252	3.686	4.015
17	0.689	0.863	1.069	1.333	1.740	2.110	2.567	2.898	3.222	3.646	3.965
18	0.688	0.862	1.067	1.330	1.734	2.101	2.552	2.878	3.197	3.610	3.922
19	0.688	0.861	1.066	1.328	1.729	2.093	2.539	2.861	3.174	3.579	3.883
20	0.687	0.860	1.064	1.325	1.725	2.086	2.528	2.845	3.153	3.552	3.850
21	0.686	0.859	1.063	1.323	1.721	2.080	2.518	2.831	3.135	3.527	3.819
22	0.686	0.858	1.061	1.321	1.717	2.074	2.508	2.819	3.119	3.505	3.792
23	0.685	0.858	1.060	1.319	1.714	2.069	2.500	2.807	3.104	3.485	3.767
24	0.685	0.857	1.059	1.318	1.711	2.064	2.492	2.797	3.091	3.467	3.745
25	0.684	0.856	1.058	1.316	1.708	2.060	2.485	2.787	3.078	3.450	3.725
26	0.684	0.856	1.058	1.315	1.706	2.056	2.479	2.779	3.067	3.435	3.707
27	0.684	0.855	1.057	1.314	1.703	2.052	2.473	2.771	3.057	3.421	3.690
28	0.683	0.855	1.056	1.313	1.701	2.048	2.467	2.763	3.047	3.408	3.674
29	0.683	0.854	1.055	1.311	1.699	2.045	2.462	2.756	3.038	3.396	3.659
30	0.683	0.854	1.055	1.310	1.697	2.042	2.457	2.750	3.030	3.385	3.646
40	0.681	0.851	1.050	1.303	1.684	2.021	2.423	2.704	2.971	3.307	3.551
50	0.679	0.849	1.047	1.299	1.676	2.009	2.403	2.678	2.937	3.261	3.496
60	0.679	0.848	1.045	1.296	1.671	2.000	2.390	2.660	2.915	3.232	3.460
80	0.678	0.846	1.043	1.292	1.664	1.990	2.374	2.639	2.887	3.195	3.416
100	0.677	0.845	1.042	1.290	1.660	1.984	2.364	2.626	2.871	3.174	3.390
120	0.677	0.845	1.041	1.289	1.658	1.980	2.358	2.617	2.860	3.160	3.373
$\infty$	0.674	0.842	1.036	1.282	1.645	1.960	2.326	2.576	2.807	3.090	3.291

Наприклад, якщо ми маємо вибірку з варіацією 2 та середнім значенням 10, вибраним з набору 11 елементів (10 ступенів свободи), використовуючи формулу:

$\overline{X}_n\pm A\frac{S_n}{\sqrt{n}}$

Ми можемо визначити що з 90% впевненістю ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить в інтервалі:

$10+1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=10.58510$

Та, знову з 90% впевненістю , ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поза інтервалом:

$10-1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=9.41490$

Так, з 80% впевненістю, ми маємо дійсне середнє значення, яке лежить поміж:

$10\pm1.37218 \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{11}}=[9.41490,10.58510]$

[ред.] Окремі випадки

Деякі значення $ν$ дяють особливо просту форму.

[ред.] $ν = 1$

Шільність розподілу

$F(x) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\pi}\tan^{-1}(x)$

[ред.] $ν = 2$

Шільність розподілу

$F(x) = \frac{1}{2}\left[1+\frac{x}{\sqrt{2+x^2}}\right]$

Шільність розподілу

$f(x) = \frac{1}{\left(2+x^2\right)^{3/2}}$

[ред.] Література

"Student" (W.S. Gosset) (1908) The probable error of a mean. Biometrika 6(1):1--25.
M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. (1972) Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover. (See Section 26.7.)
R.V. Hogg and A.T. Craig (1978) Introduction to Mathematical Statistics. New York: Macmillan.

[ред.] Ресурси Інтернет

VassarStats Density plot, critical values, etc., calculated for a user-specified number of d.f.
Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (S) (Remarks on the history of the term "Student's distribution")
Distribution Calculator Calculates probabilities and critical values for normal, t-, chi2- and F-distribution
New Methods for Managing "Student's" T Distribution Surveys techniques for sampling with new techniques using the inverse CDF directly

[ред.] Дивись також

[ред.] Примітки

↑ Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95, available online: http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/

[0] Hurst, Simon, The Characteristic Function of the Student-t Distribution, Financial Mathematics Research Report No. FMRR006-95, Statistics Research Report No. SRR044-95, available online: http://wwwmaths.anu.edu.au/research.reports/srr/95/044/

[1]

T-розподіл Стьюдента

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Таблиця вибраних значень

[ред.] Окремі випадки

[ред.] $ν = 1$

[ред.] $ν = 2$

[ред.] Література

[ред.] Ресурси Інтернет

[ред.] Дивись також

[ред.] Примітки

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами

Щільність розподілу
Функція розподілу ймовірностей
Параметри	$ν > 0$ ступені свободи (дійсне)
Носій функції	$x \in (-\infty; +\infty)\!$
Розподіл ймовірностей	$\frac{\Gamma(\frac{\nu+1}{2})} {\sqrt{\nu\pi}\,\Gamma(\frac{\nu}{2})} \left(1+\frac{x^2}{\nu} \right)^{-(\frac{\nu+1}{2})}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	$\begin{matrix} \frac{1}{2} + x \Gamma \left( \frac{\nu+1}{2} \right) \cdot\\[0.5em] \frac{\,_2F_1 \left ( \frac{1}{2},\frac{\nu+1}{2};\frac{3}{2}; -\frac{x^2}{\nu} \right)} {\sqrt{\pi\nu}\,\Gamma (\frac{\nu}{2})} \end{matrix}$ де ₂F₁ це гіпергеометрична функція
Середнє	$0$ для $ν > 1$ , інакше невизначено
Медіана	$0$
Мода	$0$
Дисперсія	$\frac{\nu}{\nu-2}$ для $\nu>2\!$ , інакше невизначено
Коефіцієнт асиметрії	$0$ для $ν > 3$
Коефіцієнт ексцесу	$\frac{6}{\nu-4}$ для $\nu>4\!$
Ентропія	$\begin{matrix} \frac{\nu+1}{2}\left[ \psi(\frac{1+\nu}{2}) - \psi(\frac{\nu}{2}) \right] \\[0.5em] + \log{\left[\sqrt{\nu}B(\frac{\nu}{2},\frac{1}{2})\right]} \end{matrix}$ $ψ$ : дигама-функція, $B$ : бета-функця
Твірна функція моментів (mgf)	(не визначено)
Характеристична функція	$\frac{K_{\nu/2}(\sqrt{\nu}\|t\|)(\sqrt{\nu}\|t\|)^{\nu/2}}{\Gamma(\nu/2)2^{\nu/2-1}},\;\nu>0$ $K ν (x)$ : бесселівська функція, див. ^[1]

T-розподіл Стьюдента

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.

Зміст

[ред.] Таблиця вибраних значень

[ред.] Окремі випадки

[ред.] ν = 1

[ред.] ν = 2

[ред.] Література

[ред.] Ресурси Інтернет

[ред.] Дивись також

[ред.] Примітки

Перегляди

Особисті інструменти

Навігація

Участь

Пошук

Панель інструментів

Іншими мовами

[ред.] $ν = 1$

[ред.] $ν = 2$