Z-перетворення

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до: навігація, пошук

Z-перетворенням (перетворенням Лорана) називають згортання вихідного сигналу, заданого послідовністю дійсних чисел у часовій області, в аналітичну функцію комплексної частоти. Якщо сигнал являє імпульсну характеристику лінійної системи, то коефіцієнти Z-перетворення показують відгук системи на комплексні експоненти E (n) = z ^ {-n} = r ^ {-n} e ^ {-i \omega n}, тобто на гармонійні осциляції з різними частотами і швидкостями наростання / загасання.

Визначення[ред.ред. код]

Z-перетворення, як і багато інтегральних перетворень, може бути як одностороннє, так і двостороннє.

Двостороннє Z-перетворення[ред.ред. код]

Двостороннє Z-перетворення X (z) дискретного часового сигналу x [n] задається як:

X (z) = Z \{x [n] \} = \sum_ {n = - \infty} ^ {\infty} x [n] z ^ {-n}.

де n - ціле, z - комплексне число.

z = Ae ^ {j \varphi},

де A - амплітуда, а \varphi - кутова частота (у радіанах на відлік)

Одностороннє Z-перетворення[ред.ред. код]

У випадках, коли x [n] визначена тільки для n \geqslant0, одностороннє Z-перетворення задається як:

X (z) = Z\{x [n] \} = \sum_ {n = 0} ^ {\infty} x [n] z ^ {-n}.

Зворотне Z-перетворення[ред.ред. код]

Зворотне Z-перетворення визначається, наприклад, так:

x[n] = Z^{-1}\{X(z)\} = \frac {1} {2\pi j} \oint \limits_ {C} X (z) z ^ {n-1}\, dz,

де C - контур, що охоплює область збіжності X (z). Контур повинен містити всі відрахування X (z).

Поклавши в попередній формулі z = re ^ {j \varphi}, отримаємо еквівалентне визначення: x[n]=\frac{r^n}{2\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi X(re^{j\varphi})e^{jn\varphi}\,d\varphi.

Таблиця деяких Z-перетворень[ред.ред. код]

Позначення:

Сигнал, x[n] Z-перетворення, X(z) Область збіжності
1 \delta[n]\, 1\, \forall z\,
2 \delta[n-n_0]\, \frac{1}{z^{n_0}} z\neq 0\,
3 \theta[n]\, \frac{z}{z-1} |z|>1\,
4 a^n\theta[n]\, \frac{1}{1-az^{-1}} |z|>|a|\,
5 na^n\theta[n]\, \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} |z|>|a|\,
6 -a^n\theta[-n-1]\, \frac{1}{1-az^{-1}} |z|<|a|\,
7 -na^n\theta[-n-1]\, \frac{az^{-1}}{(1-az^{-1})^2} |z|<|a|\,
8 \cos(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{1-z^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}} |z|>1\,
9 \sin(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{z^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2z^{-1}\cos(\omega_0)+z^{-2}} |z|>1\,
10 a^n\cos(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{1-az^{-1}\cos(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}} |z|>|a|\,
11 a^n\sin(\omega_0n)\theta[n]\, \frac{az^{-1}\sin(\omega_0)}{1-2az^{-1}\cos(\omega_0)+a^2z^{-2}} |z|>|a|\,

Див. також[ред.ред. код]