Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Матриця, ермітово-спря́жена до матриці A з комплексними елементами, отримується в результаті транспонування матриці A і заміни кожного її елемента на комплексно-спряжений.
![{\displaystyle (A^{*})_{i,j}={\overline {A_{j,i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6d78bdef2a9dc9abbafa8773ce8aa16d136da4ff)
Визначення також може бути записане так:
![{\displaystyle A^{*}=({\overline {A}})^{T}={\overline {A^{T}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47197f561577cc37aaefa02d5c3ac4d95113103c)
де
— транспонування,
— заміна елементів матриці на комплексно-спряжені.
Ермітове спряження матриці A позначається:
чи
— в лінійній алгебрі,
— в теоретичній фізиці,
Якщо
![{\displaystyle A={\begin{pmatrix}3+i&5\\2-2i&i\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/985d294605d7835ea38ab0e8ed94fb0147888247)
тоді
![{\displaystyle A^{*}={\begin{pmatrix}3-i&2+2i\\5&-i\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a42c6c9429b8ff85c35e3a1ec32ac87d499b02f8)
![{\displaystyle \ ({A^{*}})^{*}=A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5fe4ab43e294a5f68fdffef48839a410af4a1d)
![{\displaystyle \ (rA)^{*}={r}^{*}{A}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/03d1bbe7cc75ed1096655f0e6bcf6b3f3e1dc04c)
![{\displaystyle \ {(A+B)}^{*}={A}^{*}+{B}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6f779d6464edad4db0ea24235774d5d87afb4d5)
![{\displaystyle \ {(AB)}^{*}={B}^{*}{A}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/604d9bacbdaf374827136429bfffc775c8a1e2ea)
![{\displaystyle \ ({A^{*}})^{-1}=({A^{-1}})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f7fc43b54168e0c8ea608e68bd6de9025caec1)
![{\displaystyle \ \det {(A^{*})}=(\det {A})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/845875fae79350f72bf55746a04388feba6e862f)
![{\displaystyle \ \operatorname {tr} {(A^{*})}=(\operatorname {tr} {A})^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/515aeaaf38bbe700af1db5cb7ba901541a76543c)
- визначник, слід та власні значення
комплексно-спряжені до відповідних значень
.
- Для довільної матриці
матриці
та
будуть ермітовими та невід’ємноозначеними.
Операція ермітового-спряження для матриць є узагальненням спряження для комплексних чисел.
Якщо представити комплексне число у вигляді матриці 2×2 так:
,
то операції додавання і множення для комплексних чисел і таких матриць будуть давати однаковий результат.