Теорема Коші — Ковалевської

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Коші — Ковалевської — теорема про існування та єдиність локального розв'язку задачі Коші для диференціального рівняння в частинних похідних. Частковий випадок був доведений Огюстеном Коші в 1842 році, сама теорема була повністю доведена Софією Ковалевською в 1875 році.

Формулювання

[ред. | ред. код]

Нехай початкові умови

, , де - фіксоване значення змінної , - задані функції змінних ,

задачі Коші для диференціального рівняння

, де - незалежні змінні, і ,

є аналітичними функціями незалежних змінних в околі точки . Тоді, якщо права частина даного рівняння є аналітичною функцією всіх своїх аргументів в околі точки їх числових значень, що відповідають точці в силу початкових умов, то в околі цієї точки існує аналітичний розв’язок задачі Коші, і цей розв’язок буде єдиним в класі аналітичних функцій.

Тут під аргументами розуміються не тільки незалежні змінні, а й значення невідомих функцій і їх похідних, що стоять у правій частині, обчислені через початкові умови.

Узагальнення

[ред. | ред. код]

У 1983 році японський математик Масакі Касівара[en] узагальнив теорему Коші — Ковалевської для систем лінійних диференціальних рівнянь в частинних похідних з аналітичними коефіцієнтами. Доведена їм теорема отримала назву Коші — Ковалевської — Касівари. Ця теорема передбачає когомологічне формулювання у термінах D-модулів.

Джерела

[ред. | ред. код]
  • Владимиров, В.С.; Жаринов, В.В. (2004), Уравнения математической физики, М.:ФИЗМАТЛИТ, ISBN 5-9221-0310-5
  • Cauchy, Augustin (1842), Mémoire sur l'emploi du calcul des limites dans l'intégration des équations aux dérivées partielles, Comptes rendus, 15 Том VII, с. 17–58.
  • von Kowalevsky, Sophie (1875), Zur Theorie der partiellen Differentialgleichung, Journal für die reine und angewandte Mathematik, 80: 1—32
  • Kashiwara, M. (1983), Systems of microdifferential equations, Progress in Mathematics, т. 34, Birkhäuser, ISBN 0817631380