Теорема Ліндемана — Веєрштрасса

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Теорема Ліндемана — Веєрштрасса, яка узагальнює теорему Ліндемана, доводить трансцендентність великого класу чисел. Теорема стверджує таке[1]:

Якщо  — різні алгебричні числа, лінійно незалежні над , то є алгебрично незалежними над , тобто, степінь трансцендентності розширення дорівнює

Часто використовується еквівалентне формулювання[2]:

Для будь-яких різних алгебричних чисел числа є лінійно незалежними над полем алгебричних чисел .

Історія

[ред. | ред. код]

1882 року Ліндеман довів, що трансцендентне для будь-якого ненульового алгебричного [3], а 1885 року Карл Веєрштрасс довів загальніше твердження, наведене вище.

З теореми Ліндемана — Веєрштрасса легко випливає трансцендентність чисел e і π.

Доведення трансцендентності π

[ред. | ред. код]

Застосуємо метод доведення від супротивного. Припустимо, що число є алгебричним. Тоді число , де  — уявна одиниця, також алгебричне, отже, за теоремою Ліндемана — Веєрштраса трансцендентне, проте, згідно з тотожністю Ейлера, воно дорівнює алгебричному числу , що викликає суперечність. Отже, число трансцендентне.

Примітки

[ред. | ред. код]
  1. Weisstein, Eric W. Lindemann–Weierstrass theorem(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
  2. Alan Baker. Transcendental Number Theory. — Cambridge University Press, 1975. — ISBN 052139791X.. Chapter 1, Theorem 1.4.
  3. F. Lindemann. Über die Zahl π // Mathematische Annalen. — Bd. 20 (1882). — S. 213—225.

Література

[ред. | ред. код]
  • Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с.
  • Шидловский А. Б. Диофантовы приближения и трансцендентные числа. — М. : ФИЗМАТЛИТ, 2007. — ISBN 978-5-9221-0720-4.