Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел

Теорема Ліувілля про наближення алгебричних чисел — теорема, яка встановлює, що алгебричні ірраціональності не можуть занадто добре наближатися раціональними числами. А саме: якщо $\alpha$ — алгебричне число степеня $n>1$, а $p$ та $q$ — будь-які цілі числа $(q\neq 0)$, то виконується нерівність

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{n}}}$

де $C$ — додатна константа, що залежить тільки від $\alpha$ і виражається в явному вигляді через пов'язані з $\alpha$ величини.

За допомогою цієї теореми Ліувілль побудував перші приклади трансцендентних чисел. Таким числом є, наприклад, число, що подається рядом зі швидко спадними членами, наприклад

$\xi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n!}}}.$

Узагальнення

При $n=2$ теорема Ліувілля дає непокращуваний результат. Для $n\geq 3$ теорема Ліувілля неодноразово посилювалася.

1909 року Туе встановив, що для алгебричних чисел $\alpha$ степеня $n$ і $\nu >{\frac {n}{2}}+1$ виконується нерівність

$\left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|>{\frac {C}{q^{\nu }}}$    (*)

Зігель поліпшив результат Туе, показавши, що остання нерівність виконується при

$\nu >\min _{s=\{1,\;2,\;\ldots ,\;n-1\}}\left({\frac {n}{s+1}}+s\right)$, де $s$ — ціле, зокрема, при $\nu >2{\sqrt {n}}$. Пізніше Ф. Дайсон довів справедливість цієї нерівності при $\nu >{\sqrt {2n}}$. Нарешті, К. Рот встановив, що нерівність (*) виконується при будь-якому $\nu >2$. Результат К. Рота є найкращим у своєму роді, оскільки будь-яке ірраціональне число $\xi$, алгебричне чи ні, має нескінченно багато раціональних наближень $p/q$, що задовольняють нерівності

$\left|\xi -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{q^{2}}}$.

Всі зазначені вище посилення теореми Ліувілля мають один суттєвий недолік — вони неефективні, а саме: методи їх доведення не дозволяють установити, як саме стала $C=C(\alpha ,\;\nu )$ в нерівності залежить від величин $\alpha$ і $\nu$.

Див. також

• Число Ліувілля
• Список об'єктів, названих на честь Жозефа Ліувілля

Посилання

• Michael Filaseta. The Beginning of Numbers Transcendental