Умовний розподіл у теорії ймовірностей — це розподіл випадкової величини за умови, що інша випадкова величина набуває визначене значення.
Передбачимо, що задано ймовірнісний простір .
Дискретні випадкові величини[ред. | ред. код]
Нехай і — випадкові величини, такі, що випадковий вектор має дискретний розподіл, що задається функцією ймовірностей . Нехай такий, що . Тоді функція
- ,
де - функція ймовірностей випадкової величини , називається умовною функцією ймовірностей випадкової величини за умови, що . Розподіл, що задається умовною функцією ймовірностей, називається умовним розподілом.
Абсолютно неперервні випадкові величини[ред. | ред. код]
Нехай и - випадкові величини, такі що випадковий вектор має абсолютно неперервний розподіл, який задається щільностю ймовірностей . Нехай таке, що , де - щільність випадкової величини . Тоді функція
називається умовною щільностю ймовірності випадкової величини за умови, що . Розподіл, який задається умовною функцією ймовірності, називається умовним розподілом.
Властивості умовних розподілів[ред. | ред. код]
- Умовні функції ймовірності і умовна щільність ймовірності є функціями ймовірності і щільністю ймовірності відповідно, тобто вони задовольняють всім необхідним умовам. Зокрема
- ,
- ,
і
- майже усюди на ,
- ,
- ,
- .
- Якщо випадкові величини і незалежні то умовний розподіл дорівнює безумовному:
або
- майже усюди на .
Дискретні випадкові величини[ред. | ред. код]
Якщо - зліченна підмножина , то
- .
Абсолютно неперервні випадкові величини[ред. | ред. код]
Якщо - борелівська підмножина , то припускаємо за визначенням
- .
Зауваження. Умовна ймовірність у лівій частині рівності не може бути визначена класичним способом, оскільки .
Умовні математичні сподівання[ред. | ред. код]
Дискретні випадкові величини[ред. | ред. код]
- Умовне математичне сподівання випадкової величини за умови виходить підсумовуванням щодо умовного розподілу:
- .
- Умовне математичне сподівання за умови випадкової величини - це третя випадкова величина , що задається рівністю
- .
Абсолютно неперервні випадкові величини[ред. | ред. код]
- Умовне математичне сподівання випадкової величини за умови виходить інтеграцією щодо умовного розподілу:
- .
- Умовне математичне сподівання за умови випадкової величини - це третя випадкова величина , що задається рівністю
- .
- Карташов М. В. Імовірність, процеси, статистика. — Київ : ВПЦ Київський університет, 2007. — 504 с.
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. — 6-е изд. — Москва : Наука, 1988. — 446 с.(рос.)
- Гихман И. И., Скороход А. В., Ядренко М. В. Теория вероятностей и математическая статистика. — Київ : Вища школа, 1988. — 436 с.(рос.)
- Capinski, Marek, Kopp, Peter E. Measure, Integral and Probability. — Springer Verlag 2004. — ISBN 9781852337810
- Williams D. Probability with Martingales/ — Cambridge University Press, 1991/ — ISBN 0-521-40605-6