Числовий ряд — ряд, елементами якого є числа.
Нехай
— деяка числова послідовність. Для кожного
визначена скінченна сума
![{\displaystyle S_{n}=a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f49e8c5b749e15a817ef6a19cf61f65d5f39e356)
Дві числові послідовності
та
називаються числовим рядом і позначаються
![{\displaystyle a_{1}+a_{2}+\cdots +a_{n}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a50639351e40b8fb6bae34c0a5f5872598359d79)
Число
називається n-тим членом, а число
— n-тою частковою сумою ряду.
Якщо послідовність часткових сум
збігається до деякого числа
(див. Границя числової послідовності), то числовий ряд називається збіжним, а число
— називається сумою цього ряду, і позначається
.
Якщо ж скінченної границі не існує, то числовий ряд називається розбіжним.
Теорема 01.
Якщо числовий ряд
збігається, то
,
Доведення.
Дійсно, оскільки
,
та
,
, то
,
.
Теорема 02.
Якщо числовий ряд
збігається, то
,
Доведення.
Розглянемо
,
.
Теореми 01 та 02 дають необхідні умови збіжності ряду (1).
Приклад 01.
Ряди
, (2)
(3)
є розбіжними згідно з теоремою 01. Дійсно,
,
у випадку ряду (1) та
у випадку ряду (2).
Приклад 02.
Геометричний ряд для
має вигляд
. (4)
Його часткова сума
для
.
Якщо
то
,
. Тобто, при
ряд (4) збігається до суми
:
,
.
При
послідовність
скінченної границі не має, отже при
ряд (4) розбігається.
Приклад 03.
Доведемо, що
Дійсно, для
.
Отже,
,
.
Приклад 04.
Гармонічний ряд має вигляд
Доведемо, що цей ряд розбігається. Використовуючи теорему 02, при
матимемо
.
Таким чином,
,
. Оскільки послідовність
зростає та не має границі, то
,
. Проте зростання
із зростанням
відбувається дуже повільно. Л. Ейлер підрахував, що
. Варто також звернути увагу, що члени гармонійного ряду прямують до нуля при
, тобто необхідна умова збіжності виконується.
1. Нехай ряд
збігається до суми
. Тоді для будь-якого
ряд
теж збігається і має суму
, тобто
.
Доведення випливає з означень.
2. Нехай ряди
та
збігаються до сум
та
відповідно. Тоді ряд
збігається до суми
, тобто
.
Означення. Для ряду
(1)
та числа
ряд
(2)
називається залишком вихідного ряду. Якщо ряд (2) збігається, то
— сума залишку.
3. Якщо ряд (1) збігається до суми
, то збігається будь-який його залишок, причому
.
Якщо для деякого
збігається залишок (2), то ряд (1) збігається.
4. Критерій Коші збіжності числового ряду. Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб
.
Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності
.