Відмінності між версіями «Інтеграл Рімана»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
м
Рядок 1: Рядок 1:
  +
[[Файл:RiemannInt.png|right|thumb|250px|Інтеграл Рімана дозволяє обчислити площу криволінійної трапеції як границю площ ступінчастих фігур, коли ширина «сходинок» прямує до нуля]]
[[Файл:RiemannInt.png|right|thumb|250px|Геометричний сенс інтеграла Рімана]]
 
'''Інтегр́ал Р́імана''' — одне з найважливіших понять [[математичний аналіз|математичного аналізу]]. Був уведений [[Бернгард Ріман|Бернгардом Ріманом]] в [[1854]] році, і є одною з перших формалізації поняття [[інтеграл]]у.
+
'''Інтегра́л Рі́мана''' — одне з найважливіших понять [[математичний аналіз|математичного аналізу]], є узагальненням поняття [[сума (математика)|суми]], яке знаходить широке застосування в багатьох галузях [[математика|математики]]. Був уведений [[Бернгард Ріман|Бернгардом Ріманом]] в [[1854]] році, і є одною з перших формалізації поняття [[інтеграл]]у.
   
 
== Геометрична інтерпретація ==
 
== Геометрична інтерпретація ==

Версія за 06:06, 21 серпня 2013

Інтеграл Рімана дозволяє обчислити площу криволінійної трапеції як границю площ ступінчастих фігур, коли ширина «сходинок» прямує до нуля

Інтегра́л Рі́мана — одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є одною з перших формалізації поняття інтегралу.

Геометрична інтерпретація

Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене Ньютоном та Лейбніцем, як площу фігури, яка обмежена графіком функції та віссю абсцис. Для цього він розглянув ступінчасті фігури, які складаються з великої кількості вертикальних прямокутників, отриманих при розбитті відрізка інтегрування (див. Рис.).

Нехай функція f : [a, b]→R є неперервною і невід'ємною на відрізку [a, b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a, b] і прямими {x = a} та {x = b}, називається криволінійною трапецією. Обчислимо наближено площу цієї трапеції.

  1. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n відрізків (n ≥ 1): a = x0 < x1 < x2 < … < xk < xk+1 < … < xn−1 < xn = b. Множина точок {x0, x1,…, xn} називається розбиттям відрізку інтегрування і позначається як λ або λ([a, b]).
  2. На кожному відрізку розбиття [xk, xk+1] довільно оберемо по одній точці ck (k = 0, 1,…, n − 1) і побудуємо вертикальні прямокутники Πk = [xkxk+1] × [0, f(ck)].
  3. Смугу криволінійної трапеції з основою [xk, xk+1] замінимо прямокутником Πk.

В результаті отримаємо ступінчасту фігуру, складену з прямокутників (див. Рис.).

Очевидно, що чим менші відрізки [xk, xk+1] розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.

Зауваження Якщо для розбиття λ довжини усіх відрізків однакові (тобто Δxk := xk+1xk = Δx =: (b − a) / n для всіх k = 0,…, n − 1), то таке розбиття називається рівномірним.

Означення Діаметром (розміром) розбиття λ = {x0, x1,…, xn} називається число |λ| = max {Δxk, 0 ≤ kn − 1}.

Означення Величина

називається інтегральною сумою для функції f та точок {ci | λ}, які відповідають розбиттю λ.

Інтегральна сума дорівнює площі ступінчастої фігури, і її природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел S(f, λ, {ci | λ}), коли |λ| → 0:

До обчислення границь такого типу приводять багато задач, наприклад, обчислення довжини пройденого шляху при прямолінійному русі за відомою швидкістю v(t) протягом часу від моменту t1 до t2.

Означення інтеграла Рімана

Означення інтеграла Рімана Нехай функція f : [ab] → R та

  • для довільного розбиття λ відрізка [a, b] та відповідного йому набору точок {ci | λ} існує скінченна границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) при |λ| → 0,
  • границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) не залежить від розбиття λ і вибору точок ci.

Тоді таку границю називають інтегралом Рімана функції f по відрізку [ab] і позначають символом

У цьому випадку функція f(x) називається інтегровною (за Ріманом) на [ab]; в протилежному випадку f(x) є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку [ab].

Позначення Множину інтегровних за Ріманом функцій на відрізку [ab] позначають R([ab]).

Необхідною умовою інтегровності функції за Ріманом є її обмеженість: якщо функція f(x) необмежена на відрізку [ab], то границя інтегральних сум для цієї функції буде рівна ∞.

Критерій Дарбу інтегровності функції

Докладніше: Критерій Дарбу
Суми Дарбу для розбиття на чотири інтервали: нижня (площа зеленого) і верхня (площа зеленого і сірого)

Нижня та верхня суми Дарбу́ для функції f(x) та розбиття λ — це інтегральні суми, в яких відповідні точки {ci | λ} обираються як точні нижня та верхня межі функції f(x) відповідно.

Означення Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = inf[xi, xi+1] f(x), називається нижньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів L(f, λ) (від англ. lower — «нижній») або s(f, λ).

Означення Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = sup[xi, xi+1] f(x), називається верхньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів U(f, λ) (від англ. upper — «верхній») або S(f, λ).


За допомогою верхнього та нижнього інтегралів Дарбу можна дати критерій інтегровності функції за Ріманом.

Теорема Нехай f : [ab] → R — обмежена функція. Функція fR([ab]) тоді і лише тоді, коли

Властивості

  • Якщо функція є первісною функції , то інтеграл функції на відрізку можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца: він дорівнює .
  • Неперервна на відрізку функція інтегровна за Ріманом. Розривні функції можуть бути інтегровними, але можуть і не бути; прикладом функції, не інтегровної за Ріманом, є всюди розривна функція Діріхле.
  • Обмеження: Якщо функція інтегровна на відрізку , то вона інтегровна й на меншому відрізку , де .
  • Якщо функція інтегровна на відрізку та на відрізку , то вона інтегровна і на відрізку , і .
  • Лінійність: Якщо функції і інтегровні, і , то функція також інтегровна, і
  • Границя: Якщо інтегровні функції рівномірно збігаються на відрізку до функції , то інтегровна, і

Історія

Таке означення інтеграла дано Коші[1], але воно застосовувалося лише до неперервних функцій.

Ріман в 1854 році[2], дав це ж означення без припущення неперервності.

Див. також

Посилання

  1. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  2. Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13

Література