Відмінності між версіями «Інтеграл Рімана»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][перевірена версія]
м (→‎Методи обчислення інтегралів Рімана: Прибрано зайвий абзац в прикладі)
м (→‎Див. також: НЕВЛАСНИЙ інтеграл)
Рядок 180: Рядок 180:
 
** [[Інтеграл Даніелла]]
 
** [[Інтеграл Даніелла]]
 
** [[Інтеграл Стілтьєса]]
 
** [[Інтеграл Стілтьєса]]
** [[Невластивий інтеграл]]
+
** [[Невласний інтеграл]]
   
 
== Посилання ==
 
== Посилання ==

Версія за 19:37, 3 вересня 2013

Інтеграл Рімана функції f(x) по відрізку [ab] дорівнює сумі площ фігур між графіком функції f(x), віссю Ox і прямими {x=a} та {x=b}, в якій доданки, що відповідають фігурам в нижній півплощині, беруться зі знаком «−»

Інтегра́л Рі́мана — одне з найважливіших понять математичного аналізу, є узагальненням поняття суми, яке знаходить широке застосування в багатьох галузях математики. Був уведений Бернгардом Ріманом в 1854 році, і є одною з перших формалізації поняття інтегралу.

Геометрична інтерпретація

Ріман формалізував поняття інтегралу, розроблене Ньютоном та Лейбніцем, як площу фігури, яка обмежена графіком функції та віссю абсцис. Для цього він розглянув ступінчасті фігури, які складаються з великої кількості вертикальних прямокутників, отриманих при розбитті відрізка інтегрування (див. Рис.).

Нехай функція f : [a, b]→R є неперервною і невід'ємною на відрізку [a, b]. Фігура, обмежена графіком цієї функції, відрізком [a, b] і прямими {x = a} та {x = b}, називається криволінійною трапецією. Обчислимо наближено площу цієї трапеції.

  1. Розіб'ємо відрізок [a, b] на n відрізків (n ≥ 1): a = x0 < x1 < x2 < … < xk < xk+1 < … < xn−1 < xn = b. Множина точок {x0, x1,…, xn} називається розбиттям відрізку інтегрування і позначається як λ або λ([a, b]).
  2. На кожному відрізку розбиття [xk, xk+1] довільно оберемо по одній точці ck (k = 0, 1,…, n − 1) і побудуємо вертикальні прямокутники Πk = [xkxk+1] × [0, f(ck)].
  3. Смугу криволінійної трапеції з основою [xk, xk+1] замінимо прямокутником Πk.

В результаті отримаємо ступінчасту фігуру, складену з прямокутників (див. Рис.).

Очевидно, що чим менші відрізки [xk, xk+1] розбиття, тим більше ступінчаста фігура наближається до криволінійної трапеції.

Шаблон:Remark Якщо для розбиття λ довжини усіх відрізків однакові (тобто Δxk := xk+1xk = Δx =: (b − a) / n для всіх k = 0,…, n − 1), то таке розбиття називається рівномірним.

[усталений термін?] Діаметром (розміром, дрібністю) розбиття λ = {x0, x1,…, xn} називається число |λ| = max {Δxk, 0 ≤ kn − 1}.

[усталений термін?] Величина

називається інтегральною сумою для функції f та точок {ci | λ}, які відповідають розбиттю λ.

Інтегральна сума дорівнює площі ступінчастої фігури, і її природно вважати наближеним значенням площі криволінійної трапеції. А за площу криволінійної трапеції природно прийняти границю чисел S(f, λ, {ci | λ}), коли |λ| → 0:

До обчислення границь такого типу приводять багато задач, наприклад, обчислення довжини пройденого шляху при прямолінійному русі за відомою швидкістю v(t) протягом часу від моменту t1 до t2.

Означення інтеграла Рімана

Чим дрібніший діаметр розбиття λ, тим ближче значення інтегральної суми до значення інтеграла Рімана

[усталений термін?] Нехай функція f : [ab] → R (a < b) та

  • для довільного розбиття λ відрізка [a, b] та відповідного йому набору точок {ci | λ} існує скінченна границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) при |λ| → 0,
  • границя інтегральних сум S(f, λ, {ci | λ}) не залежить від розбиття λ і вибору точок ci.

Тоді таку границю називають інтегралом Рімана функції f по відрізку [ab] і позначають символом

У цьому випадку функція f(x) називається інтегровною (за Ріманом) на [ab]; в протилежному випадку f(x) є неінтегровною (за Ріманом) на відрізку [ab].

Шаблон:Terminology Функція f називається підінтегральною функцією, f(x)dx — підінтегральним виразом, x — змінною інтегрування, числа a та b — нижньою та верхньою межами інтегрування відповідно.

Шаблон:Denotation Множину інтегровних за Ріманом функцій на відрізку [ab] позначають R([ab]).

Необхідною умовою інтегровності функції за Ріманом є її обмеженість: якщо функція f(x) необмежена на відрізку [ab], то границя інтегральних сум для цієї функції буде рівна ∞.

Властивості інтеграла Рімана

Властивості, пов'язані з проміжками інтегрування

  • Орієнтовність інтеграла: має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку «в зворотньому напрямку», а саме для a > b вважаємо, що
  • Інтеграл по відрізку нульової довжини: має місце поняття інтеграла Рімана по відрізку нульової довжини, а саме для довільного aR вважаємо, що
  • Інтегровність на меншому відрізку: якщо fR([ab]), то fR([cd]) для довільного відрізку [cd] ⊂ [ab];
  • Адитивність: якщо fR([ab]) ∩ R([bc]) (a < b < c), то fR([ac]) і

Властивості зі знаком рівності

В цьому підрозділі вважаємо, що {a, b} ⊂ R — довільні.

  • Невиродженість: для всіх {a, b} ⊂ R має місце рівність
  • Лінійність: якщо {f, g} ⊂ R([ab]), то для довільних {α, β} ⊂ R([ab]) функція αf + βgR([ab]) та
  • Граничний перехід під знаком інтеграла Рімана: якщо fiR([ab]) рівномірно збігаються на [ab] до функції f, то fR([ab]) та

Нерівності

В цьому підрозділі вважаємо, що a < b.

  • Невід'ємність: якщо fR([ab]) та невід'ємна на [ab], то
  • Нерівність інтегралів: якщо {f, g} ⊂ R([ab]) та f(x) ≤ g(x) для всіх x ∈ [ab], то
  • Оцінка модуля інтеграла: якщо fR([ab]), то |f| ∈ R([ab]) та

Інтегровність за Ріманом функцій

В цьому розділі наведено твердження, які дозволяють визначити, чи є функція інтегровна за Ріманом.

Критерій Дарбу інтегровності функції

Докладніше: Критерій Дарбу
Суми Дарбу для рівномірного розбиття λ: нижня (ліворуч) та верхня (праворуч)

Нижня та верхня суми Дарбу́ для функції f(x) та розбиття λ — це інтегральні суми, в яких відповідні точки {ci | λ} обираються як точні нижня та верхня межі функції f(x) відповідно.

[усталений термін?] Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = inf[xi, xi+1] f(x), називається нижньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів L(f, λ) (від англ. lower — «нижній») або s(f, λ).

[усталений термін?] Інтегральна сума для розбиття λ, для якої відповідні точки {ci | λ} вибираються з умови ci = sup[xi, xi+1] f(x), називається верхньою сумою Дарбу для функції f та розбиття λ і позначається одним із символів U(f, λ) (від англ. upper — «верхній») або S(f, λ).

За допомогою верхньої та нижньої сум Дарбу можна дати критерій інтегровності функції за Ріманом.

Шаблон:Plain theorem Нехай f : [ab] → R — обмежена функція. Функція fR([ab]) тоді і лише тоді, коли

Класи інтегровних за Ріманом функцій

Шаблон:Plain theorem C([ab]) ⊂ R([ab]), тобто кожна неперервна на відрізку [ab] функція є інтегровною за Ріманом на цьому відрізку.

Шаблон:Plain theorem Кожна монотонна на відрізку [ab] функція є інтегровною за Ріманом на цьому відрізку.

Шаблон:Plain theorem Нехай f : [ab] → R задовольняє умовам

  1. функція f(x) обмежена на [ab];
  2. fC([ab] \ {z1z2,…, zn}).

Тоді fR([ab]).

Методи обчислення інтегралів Рімана

Шаблон:Plain theorem Припустимо, що функція f задовольняє умовам

  1. fR[ab];
  2. f має первісну F на [ab].

Тоді справедлива формула Ньютона—Лейбніца:

З формулою Ньютона—Лейбніца обчислення інтеграла Рімана зводиться до знаходження первісної для підінтегральної функції (див. методи знаходження первісної). Проте нею слід користуватися обережно, спочатку переконавшись у тому, чи задовільняє підінтегральна функція обом умовам теореми.

{{інтеграл Рімана}} → Розглянемо інтеграл «Первісна» підінтегральної функції дорівнює F(x) = −1/x. Тоді згідно з формулою Ньютона—Лейбніца шуканий інтеграл дорівнює F(1) − F(−1) = −2 < 0, що суперечить властивості невід'ємності інтеграла Рімана, оскільки f(x) = 1/x² > 0.

У наведеному «обчисленні» інтеграла допущено дві помилки:

  1. даний інтеграл не існує, оскільки підінтегральна функція необмежена на відрізку [-1, 1];
  2. функція f(x) розривна в точці x = 0, яка належить відрізку інтегрування, тому вона не має первісної на цьому відрізку.

Історія

Таке означення інтеграла дано Коші[1], але воно застосовувалося лише до неперервних функцій.

Ріман в 1854 році[2], дав це ж означення без припущення неперервності.

Див. також

Посилання

  1. Cauchy A. L., Sur la mécanique céleste et sur un nouveau calcul appelé calcul des limites, Turin 1831
  2. Riemann В., «Göttinger Akad. Abhandl.», 1868, Bd 13

Література