Аксіома регулярності

Аксіома регулярності (аксіома фундування) — одна з аксіом теорії множин Цермело-Френкеля (ZF) (з 1930). Спочатку була зформульована фон Нейманом для теорії множин Неймана-Бернайса-Геделя (NBG) (в 1925 ).

В будь-якій непорожній множині А є елемент B, що перетин А та B є порожньою множиною:

$\forall A(\exists B(B\in A)\rightarrow \exists B(B\in A\land \lnot \exists C(C\in A\land C\in B))).$

Якщо ввести операцію перетину множин $\cap \!$, то формулу можна спростити:

$\forall A(A\neq \varnothing \rightarrow \exists B(B\in A\wedge B\cap A=\varnothing )).$

Наслідком цієї аксіоми є твердження, що не існує множини, яка є елементом самої себе.

Аксіома регулярності найменш корисна аксіома ZF, оскільки всі результати можуть бути отримані і без неї, хоча вона інтенсивно використовується результатів про цілковий порядок та ординали.

Джерела

• Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. — Москва : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)