Алгебричний многовид: відмінності між версіями

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[неперевірена версія][неперевірена версія]
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 13: Рядок 13:
Підмножина <math>V\,</math>, множини <math> \mathbf A^n </math> називається '''афінною алгебраїчною множиною''', якщо <math>V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня афінна алгебраїчна множина називається ''незвідною'', якщо вона не може бути представлена у вигляді [[об'єднання множин|суми]] двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто '''афінними многовидами'''.
Підмножина <math>V\,</math>, множини <math> \mathbf A^n </math> називається '''афінною алгебраїчною множиною''', якщо <math>V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня афінна алгебраїчна множина називається ''незвідною'', якщо вона не може бути представлена у вигляді [[об'єднання множин|суми]] двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто '''афінними многовидами'''.


Для афінного многовиду можна задати природну [[топологія|топологію]], [[замкнута множина|замкнутими множинами]] якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається [[топологія Заріскі|топологією Заріскі]].
Для афінного многовиду можна задати природну [[топологія|топологію]], [[замкнута множина|замкнутими множинами]] якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається [[топологія Зариського|топологією Зариського]].


Для <math>V \subset \mathbf A^n</math> нехай <math>I(V)\,</math> — [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] многочленів, значення яких на множині <math>V\,</math> рівні нулю.
Для <math>V \subset \mathbf A^n</math> нехай <math>I(V)\,</math> — [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] многочленів, значення яких на множині <math>V\,</math> рівні нулю.
Рядок 28: Рядок 28:
Підмножина <math> V </math>, множини <math>\mathbf P^n</math> називається '''проективною алгебраїчною множиною''', якщо <math> V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.
Підмножина <math> V </math>, множини <math>\mathbf P^n</math> називається '''проективною алгебраїчною множиною''', якщо <math> V = Z(S)\,</math> для деякої <math> S\,</math>. Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.


Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Заріскі.
Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.


Для <math>V \subset \mathbf P^n</math> Нехай <math>I(V)\,</math> — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині <math> V\,</math> рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини <math>V\,</math> фактор-кільце від цього ідеалу називається '''координатним кільцем'''.
Для <math>V \subset \mathbf P^n</math> Нехай <math>I(V)\,</math> — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині <math> V\,</math> рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини <math>V\,</math> фактор-кільце від цього ідеалу називається '''координатним кільцем'''.
Рядок 38: Рядок 38:
== Див. також ==
== Див. також ==
*[[Теорема Гільберта про нулі]]
*[[Теорема Гільберта про нулі]]

== Посилання ==
[http://www.imath.kiev.ua/~drozd/AG-App.pdf Ю.Дрозд. Алгебраїчна геометрія і її застосування.Курс лекцій]


== Література ==
== Література ==
* Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
* Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9
* Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
* David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
* David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
* David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
* David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.

Версія за 18:01, 21 червня 2010

В класичній алгебраїчній геометрії алгебраїчний многовидмножина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення

Розглядаються чотири види алгебраїчних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.

Афінні многовиди

Нехай є алгебраїчно замкнуте поле і n-мірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:

Підмножина , множини називається афінною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для нехай ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.

Для будь-якої алгебраїчної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів від для цього ідеалу.

Проективні многовиди

Нехай — n-мірний проективний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

Підмножина , множини називається проективною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини фактор-кільце від цього ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості

  • Афінна алгебраїчна множина є алгебраїчним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
  • Довільна непорожня афінна алгебраїчна множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебраїчних многовидів.

Див. також

Посилання

Ю.Дрозд. Алгебраїчна геометрія і її застосування.Курс лекцій

Література

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
  • David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
  • David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
  • David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.