Алгебричний многовид

В класичній алгебраїчній геометрії алгебраїчний многовид — множина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення

Розглядаються чотири види алгебраїчних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.

Афінні многовиди

Нехай $K\,$ є алгебраїчно замкнуте поле і $\mathbf {A} ^{n}$ — n-мірний афінний простір над $K$. Многочлени $F\in K[x_{1},...,x_{n}]$ можна розглядати як функції з $\mathbf {A} ^{n}$, зі значеннями в $k\,$. Для кожного $S\subset k[x_{1},...,x_{n}]$ можна визначити підмножину $\mathbf {A} ^{n}$, в якій значення всіх поліномів з множини $S$ рівне нулю:

$Z(S)=\{x\in \mathbf {A} ^{n}|f(x)=0\quad \forall f\in S\}$

Підмножина $V\,$, множини $\mathbf {A} ^{n}$ називається афінною алгебраїчною множиною, якщо $V=Z(S)\,$ для деякої $S\,$. Непорожня афінна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається топологією Заріскі.

Для $V$ - підмножина $\mathbf {A} ^{n}$/ Нехай $I(V)\,$ є ідеалом многочленів, значення яких на множині $V\,$ рівні нулю.

$I(V)=\{f\in k[x_{1},...,x_{n}]|f(x)=0\quad \forall x\in V\}$

Для будь-якої алгебраїчної множини $V$ координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів від для цього ідеалу.

Проективні многовиди

Нехай $\mathbf {P} ^{n}$ — n-мірний проективний простір над полем $K$. Однорідний многочлен $K[x_{0},...,x_{n}]$, можна розглядати як функцію $\mathbf {P} ^{n}$, зі значеннями в $K\,$ шляхом оцінки в однорідних координатах. Для будь-якого $S\subset \mathbf {P} ^{n}$ аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

$Z(S)=\{x\in \mathbf {P} ^{n}|f(x)=0\quad \forall f\in S\}$

Підмножина $V$, множини $\mathbf {P} ^{n}$ називається проективною алгебраїчною множиною, якщо $V=Z(S)$ для деякої $S$. Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Заріскі.

Для $V\subset \mathbf {P} ^{n}$ Нехай $I(V)$ — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині $V$ рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини $V$ фактор-кільце від цього ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості

• Афінна алгебраїчна множина $V\,$ є алгебраїчним многовидом тоді і тільки тоді коли $I(V)\,$ є простим ідеалом.
• Довільна непорожня афінна алгебраїчна множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебраїчних многовидів.

Література

• Robin Hartshorne (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90244-9
• David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
• David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
• David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.