Алгебричний многовид

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку

В класичній алгебраїчній геометрії алгебраїчний многовидмножина точок, координати яких задовольняють деякій системі поліноміальних рівнянь.

Визначення

Розглядаються чотири види алгебраїчних многовидів: афінні многовиди, квазі-афінні многовиди , проектні многовиди і квазі-проективні многовиди.

Афінні многовиди

Нехай є алгебраїчно замкнуте поле і n-мірний афінний простір над . Многочлени можна розглядати як функції з , зі значеннями в . Для кожного можна визначити підмножину , в якій значення всіх поліномів з множини рівне нулю:

Підмножина , множини називається афінною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня афінна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні афінні алгебраїчні множини називаються афінними алгебраїчними многовидами, або просто афінними многовидами.

Для афінного многовиду можна задати природну топологію, замкнутими множинами якої є всі алгебраїчні множини. Дана топологія називається топологією Зариського.

Для нехай ідеал многочленів, значення яких на множині рівні нулю.

Для будь-якої алгебраїчної множини координатним кільцем або структурним кільцем називається фактор-кільце многочленів від для цього ідеалу.

Проективні многовиди

Нехай — n-мірний проективний простір над полем . Однорідний многочлен , можна розглядати як функцію , зі значеннями в . Для будь-якого аналогічно, як у афінному випадку визначаємо:

Підмножина , множини називається проективною алгебраїчною множиною, якщо для деякої . Непорожня проективна алгебраїчна множина називається незвідною, якщо вона не може бути представлена у вигляді суми двох алгебраїчних підмножин. Незвідні проективні алгебраїчні множини називаються проективними алгебраїчними многовидами, або просто проективними многовидами.

Як і у афінному випадку , можна природним чином задати топологію Зариського.

Для Нехай — ідеал, породжений усіма однорідними многочленами, значення яких на множині рівне нулю. Для будь-якої проективної алгебраїчної множини фактор-кільце від цього ідеалу називається координатним кільцем.

Основні властивості

  • Афінна алгебраїчна множина є алгебраїчним многовидом тоді і тільки тоді коли є простим ідеалом.
  • Довільна непорожня афінна алгебраїчна множина може бути явно представлена у вигляді суми алгебраїчних многовидів.

Див. також

Посилання

Ю.Дрозд. Алгебраїчна геометрія і її застосування.Курс лекцій

Література

  • Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.
  • Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М.: Мир, 1981.
  • David Cox; John Little, Don O'Shea (1997). Ideals, Varieties, and Algorithms, second edition, Springer-Verlag. ISBN 0-387-94680-2.
  • David Eisenbud (1999). Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94269-6.
  • David Dummit; Richard Foote (2003). Abstract Algebra, third edition, Wiley. ISBN 0-471-43334-9.