Перегляд вихідного коду сторінки Власні вектори та власні значення

{{вичитати}}
[[Файл:Mona Lisa with eigenvector.png|thumb|300px|На зображенні ми бачимо транформацію зсуву, що відбувається з [[Джоконда|Джокондою]]. Синій вектор змінює напрям, а червоний&nbsp;— ні. Тому червоний є власним вектором такого перетворення, а синій&nbsp;— ні. Через те, що червоний вектор ні розтягнувся, ні стиснувся, його власне значення дорівнює одиниці. Всі вектори колінеарні червоному теж власні.]]

'''Вла́сний ве́ктор''' ({{lang-en|eigenvector}}) [[квадратна матриця|квадратної матриці]] <math>A</math> (з '''вла́сним зна́ченням''' ({{lang-en|eigenvalue}}) <math>\lambda \!</math>)&nbsp;— це ненульовий вектор <math>v \!</math>, для якого виконується співвідношення

: <math> Av = \lambda v, \qquad (*)</math>

де <math>\lambda</math> це певний [[скаляр]], тобто [[дійсне число|дійсне]] або [[комплексне число]].

Тобто, власні вектори матриці <math>A</math>&nbsp;— це ненульові вектори, які під дією лінійного перетворення, що задається матрицею <math>A</math> не міняють напрямку, але можуть змінювати довжину на коефіцієнт <math>\lambda</math>.

Матриця розмірами <math>n\times n</math> має не більше <math>\ n</math> власних векторів, та власних значень, що відповідають їм.

Співвідношення (*) має сенс також для [[лінійний оператор|лінійного оператора]] у [[Векторний простір|векторному просторі]] <math>V.</math> Якщо цей простір&nbsp;— [[Скінченновимірний простір|скінченновимірний]], то оператор можна записати у вигляді матриці відносно до певного [[Базис (математика)|базису]] <math>V.</math>

Оскільки власні вектори і власні значення означено без застосування координат, вони не
залежать від вибору базису. Тому [[подібні матриці]] мають однакові власні значення.

== Приклади ==
* <math>A=I_n</math> це [[одинична матриця]]. Оскільки для довільного вектора <math>v</math> виконується <math>Av=v,</math> довільний ненульовий вектор є власним вектором <math>I_n</math> із власним значенням <math>1.</math>

* Якщо <math>A=\operatorname{diag}(a_1,\ldots,a_n)</math> це [[діагональна матриця]], то будь-який елемент <math>e_i</math> [[стандартний базис|стандартного базису]] <math>n</math>-мірного [[Векторний простір|векторного простору]]&nbsp;— це власний вектор із власним значенням <math>a_i.</math>

== Власні значення і спектр матриць ==
{{якір|алгебрична кратність}}
Провідну роль у розумінні власних значень матриць відіграє [[характеристичний поліном матриці]]. Власні значення <math>n \times n</math> матриці <math>A</math> і тільки вони є коренями [[характеристичний поліном|характеристичного поліному]] матриці <math>A</math>:
: <math>p(\lambda) \equiv \det{(\lambda I - A )} = 0.</math>

''p''('''λ''') є [[поліном]]ом степеня <math>n</math>, отже за [[основна теорема алгебри|основною теоремою алгебри]], існує рівно <math>n</math> комплексних власних значень, враховуючи їх кратності.

Отже, <math>n\times n</math> матриця <math>A</math> має не більше ніж <math>n</math> власних значень (але безліч власних векторів для кожного з них).

Запишемо характеристичний поліном через його корені:
: <math>p(\lambda) = (\lambda-\lambda_1)^{n_1}(\lambda-\lambda_2)^{n_2} \ldots (\lambda-\lambda_k)^{n_k} = 0, \qquad \sum_{i=1}^{k}{n_i} = n.</math>

Кратність кореня <math>\lambda_i</math> характеристичного полінома матриці <math>A</math> називається '''алгебраїчною кратністю''' власного значення <math>\lambda_i</math>.

Сукупність усіх власних значень матриці або лінійного оператора у [[Скінченновимірний простір|скінченновимірному]] [[Векторний простір|векторному просторі]] називається '''спектром''' матриці або лінійного оператора. (Ця термінологія видозмінюється для [[Нескінченновимірний простір|нескінченновимірних]] векторних просторів: у загальному випадку, до спектра оператора можуть належати <math>\lambda,</math> які не є власними значеннями.)

Завдяки зв'язку характеристичного поліному матриці з її власними значеннями, останні ще називають '''характеристичними числами''' матриці.

== Власний простір та кратність ==
{{якір|геометрична кратність}}
Для кожного власного значення <math>\lambda_i \!</math>, отримаємо свою систему рівнянь:
: <math>(A - \lambda_i I) v  = 0, \!</math>
що матиме <math>1 \le m_i \le n_i \!</math> [[лінійна незалежність|лінійно незалежних]] розв'язків.

Сукупність усіх розв'язків системи утворює [[лінійний підпростір]] розмірності <math>m_i \;</math> та називається '''вла́сним про́стором''' ({{lang-en|eigenspace}}) матриці <math>A \!</math> з власним значенням <math>\lambda_i \!</math>.

[[Розмірність]] власного простору називається '''геометричною кратністю''' відповідного власного значення <math>\lambda</math>.

Всі власні простори є [[інваріантний підпростір|інваріантними підпросторами]] для <math>\ A</math>.

Якщо існують принаймні два лінійно-незалежні власні вектори з однаковим власним значенням <math>\lambda,</math> то таке власне значення називається '''виродженим'''. Ця термінологія використовується переважно у тому разі, якщо геометрична і алгебраїчна кратності власних значень збігаються, наприклад, для [[ермітова матриця|ермітових матриць]].

== Властивості ==
* Для будь-якої матриці з комплексних чисел існує хоча б один власний вектор.

* Якщо <math>v_1,\ldots,v_k</math>&nbsp;— власні вектори матриці <math>A</math> із попарно відмінними власними значеннями, то ці вектори є [[лінійна незалежність|лінійно незалежні]].

* Якщо матриця <math>A</math> розміру ''n×n'', [[подібні матриці|подібна]] до деякої діагональної матриці, то вона має ''n'' лінійно незалежних векторів.

* Власні значення матриць <math> A, \, A^*</math> є [[комплексне спряження|комплексно-спряженими]].

* Якщо матриці <math>A, B</math> є [[переставні матриці|переставними]], то в них існує спільний власний вектор:
: <math>AB=BA \quad \Rightarrow \quad \exists \; v, \lambda_1, \lambda_2: \;\; Av=\lambda_1 v, \; Bv=\lambda_2 v. </math>

* Якщо <math>A</math>&nbsp;— [[нормальний оператор]] у [[гільбертів простір|гільбертовому просторі]], то його власні вектори, що відповідають різним власним значенням є ортогональними і з них можна утворити повну [[ортонормований базис|ортонормовану систему]].

== Розклад матриці за допомогою власних векторів ==
* Якщо <math>A\!</math> квадратна матриця розміру ''n×n'', а <math>q_i (i=\overline{1,n})</math>&nbsp;— лінійно незалежні власні вектори матриці <math>A\!</math>, тоді справедлива формула:
: <math>A = Q \Lambda Q^{-1} \!</math>
де <math>Q \!</math>&nbsp;— квадратна матриця розміру ''n×n'', <math>\ i</math>-тий стовпець якої є вектор <math>q_i \!</math>, а <math>\Lambda \!</math>&nbsp;— це [[діагональна матриця]] з відповідними значеннями <math>\lambda_i \!</math>.

* [[Обернена матриця]] може бути представлена у вигляді:
: <math>A^{-1} = Q \Lambda^{-1} Q^{-1} \!</math>

* Якщо <math>A\!</math>&nbsp;— [[нормальна матриця]], то матриця <math>Q \!</math> буде [[унітарна матриця|унітарною матрицею]].

== Проблеми власних значень ==
Проблема власних значень має назву задача знаходження власних векторів та чисел матриці.

За означенням (з допомогою характеристичного рівняння) можна знаходити тільки власні значення матриць розмірності менше п'яти. Характеристичне рівняння має степінь рівний степеню матриці. Для більших степенів знаходження розв'язків рівняння стає дуже проблематичним, тому використовують різні [[чисельні методи]]

Різні задачі вимагають отримання різної кількості власних значень. Тому розрізняють кілька проблем пошуку власних значень, для кожної з яких використовують свої методи.

* '''Повна'''&nbsp;— знайти всі власні значення
* '''Часткова'''&nbsp;— знайти кілька власних значень
*# Максимальне чи мінімальне за модулем власні значення.
*# Два максимальні власні значення
*# Найближче до даного власне значення.

Здавалось б що часткова проблема власних значень є частковою проблемою повної, і вирішується тими ж методами що і повна. Проте, методи що застосовуються до часткових задач набагато ефективніші, тому можуть застосовуватись до матриць великої розмірності (наприклад в ядерній фізиці виникають проблеми знаходження власних значень для матриць розмірності <math>10^3 - 10^6</math>).

=== Метод Якобі ===
{{Main|Метод обертання Якобі}}
Одним з найстаріших та найзагальніших підходів до розв'язання повної проблеми власних значень є метод Якобі, що вперше був опублікований в [[1846]].

Метод застосовують до симетричних матриць.

Це простий ітеративний алгоритм, у якому матриця зі власними векторами обчислюється послідовністю множень.

== Див. також ==
* [[Алгоритм обчислення власних значень]]
* [[Власна функція]]
* [[Спектральна теорема]]
* [[Степеневий метод]]
* [[Зворотний степеневий метод]]
* [[Алгебрична зв'язність]]

== Література ==
* {{Гантмахер.Теорія матриць}}
* {{Гельфанд.Линейная алгебра}}
* {{cite book
|автор=Н.С. Бахвалов, Н.П.Жидков, [[Кобельков Георгій Михайлович|Г.М. Кобельков]]
|назва=Численные методы
}} (Проблеми власних значень)

== Посилання ==
* {{Клепко_ВМ|частина=Власні числа та власні вектора|сторінки=58}}

{{math-stub}}

{{Лінійна алгебра}}

[[Категорія:Лінійна алгебра]]
[[Категорія:Теорія матриць]]
[[Категорія:Функціональний аналіз]]