Відмінності між версіями «Геометрична прогресія»

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Перейти до навігації Перейти до пошуку
[перевірена версія][очікує на перевірку]
(виправлено неточності в формулі для суми геометричної прогресії, коли r < 1 і n -> нескінченності)
 
(Не показана 1 проміжна версія ще одного користувача)
Рядок 1: Рядок 1:
 
'''Геометрична прогресія'''&nbsp;— [[Послідовність (математика)|послідовність]] [[число|чисел]], перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається '''знаменником прогресії'''.
 
'''Геометрична прогресія'''&nbsp;— [[Послідовність (математика)|послідовність]] [[число|чисел]], перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається '''знаменником прогресії'''.
Знаменник прогресії не дорівнює 1 (одиниці)
+
Якщо знаменник прогресії дорівнює 1 (одиниці), то прогресія вважається стаціонарною. Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати 0 (нулю).
 
Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці&nbsp;— прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці&nbsp;— прогресія спадна.
 
Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці&nbsp;— прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці&nbsp;— прогресія спадна.
 
У випадку коли знаменник прогресії менше нуля&nbsp;— прогресія знакозмінна.
 
У випадку коли знаменник прогресії менше нуля&nbsp;— прогресія знакозмінна.
Рядок 16: Рядок 16:
 
Знайдемо суму перших <math>n</math> членів геометричної прогресії
 
Знайдемо суму перших <math>n</math> членів геометричної прогресії
   
<math>s_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math>
+
<math>S_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math>
   
 
Помножимо та поділимо праву частину на <math>(r-1)\,</math> (<math>r</math> не може бути 1), добуток <math>(1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math> на <math>(r-1)\,</math> дає <math>(r^n-1)\,</math>, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:
 
Помножимо та поділимо праву частину на <math>(r-1)\,</math> (<math>r</math> не може бути 1), добуток <math>(1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,</math> на <math>(r-1)\,</math> дає <math>(r^n-1)\,</math>, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:
   
: <math>s_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}</math><br />
+
:<math>S_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}</math><br />
   
Якщо <math>\left| r \right|<1</math>, то <math>a_n \to 0</math>, тоді:<br />
+
Якщо <math>\left| r \right|<1</math> і <math>n \to \infty</math> то <math>r^n \to 0</math>, тоді:
<math>S_n \to {a_0 \over 1-r}</math> при <math>n \to \infty</math>
+
<math>S_n \to {a \over 1-r}</math>
   
 
== Практичне застосування ==
 
== Практичне застосування ==

Поточна версія на 00:37, 28 травня 2020

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Якщо знаменник прогресії дорівнює 1 (одиниці), то прогресія вважається стаціонарною. Знаменник геометричної прогресії не може дорівнювати 0 (нулю). Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Приклади:

  • послідовність степенів 2 є геометричною прогресією: 2, 4, 8, 16, 32, ….
  • геометрична прогресія із першим елементом 3, та знаменником −2: 3, −6, 12, −24, 48, ….

Значення n-ного члена[ред. | ред. код]

Позначимо перший член b1, а знаменник прогресії q. Тоді другий член b2= b1* q, третій — b3= b2* q= b1* q2, четвертий — b4= b3* q= b1* q3, і так далі.

Тому вираз n-ного члена буде: bn= b1qn-1

Сума[ред. | ред. код]

Знайдемо суму перших членів геометричної прогресії

Помножимо та поділимо праву частину на ( не може бути 1), добуток на дає , оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:


Якщо і то , тоді:

Практичне застосування[ред. | ред. код]

Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?

2,000 · 1.056 = 2680.19

Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Див. також[ред. | ред. код]

Посилання на сторонні джерела[ред. | ред. код]

Джерела[ред. | ред. код]

  • Г. Корн и Т. Корн «Справочник по математике для научных работников и инженеров»