Гомотопія

Матеріал з Вікіпедії — вільної енциклопедії.
Версія від 00:11, 21 вересня 2020, створена Stablenode (обговорення | внесок)
(різн.) ← Попередня версія | Поточна версія (різн.) | Новіша версія → (різн.)
Перейти до навігації Перейти до пошуку

Гомотопія — в математиці поняття алгебричної топології, що формалізує поняття неперервної деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються гомотопічні групи, що є важливими інваріантами в алгебричній топології.

Формальне визначення[ред. | ред. код]

Нехай та  — топологічні простори і f та g — два неперервних відображення з простору в простір . Тоді відображення f називається гомотопним відображенню g, якщо існує неперервне відображення таке, що і для x ∈ X. Дане неперервне відображення називається гомотопією.

Пов'язані визначення[ред. | ред. код]

Гомотопічна еквівалентність бублика і чашки
  • Гомотопічний інваріант — це характеристика простору, яка зберігається при гомотопічній еквівалентності топологічних просторів. Тобто, якщо два простори гомотопно еквіваленті, то вони мають однакову характеристику. Наприклад: зв'язність, фундаментальна група, ейлерова характеристика.
  • Якщо на деякій підмножині для всіх при , то називається гомотопією відносно , а і гомотопними відносно .
  • Ізотопія — гомотопія топологічного простору по топологічному простору тобто , в якій при будь-кому відображення є гомеоморфізмом на .

Гомотопічна еквівалентність[ред. | ред. код]

  • Гомотопічна еквівалентність топологічних просторів і  — пара неперервних відображень і така, що і , тут позначає гомотопічну еквівалентність відображень. В цьому випадку говорять, що і гомотопно еквівалентні, або з мають один гомотопний тип.

Гомотопічна група[ред. | ред. код]

Гомотопічна група простору є групою гомотопічних класів неперервних відображень переводячи відзначену точку сфери у точку із декотрою операцією. Сферу можна неперервно й бієктивно відобразити у де Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень які переводять границю у відзначену точку Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:

Властивості[ред. | ред. код]

Рефлексивність. Якщо  — деяке неперервне відображення, тоді функція визначена буде гомотопією між f і f.
Симетричність. Нехай відображення гомотопне відображенню і  — відповідна гомотопія. Тоді g є гомотопним f з гомотопією .
Транзитивність. Нехай відображення гомотопне відображенню і  — відповідна гомотопія. Нехай також відображення гомотопне відображенню і  — відповідна гомотопія. Тоді Тоді f є гомотопним h з гомотопією:
  • Усі відображення є неперервними.
  • Якщо  — неперервні відображення, і  — гомотопія між і , то є гомотопією між і .

Приклади[ред. | ред. код]

  • Якщо , то функції і є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається:
  • Множини є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними.
  • Одиничне коло гомотопно еквівалентне простору .
  • де - апроксимуючі скінченні моделі CW-комплесу Тут ми маємо відображення Отримуємо бієкцію
  • Нехай - гомотопічні простори із відзначеною точкою, де - скінченне й у ньому виконується Нехай відображення є неперервними та виконується Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію із наступними властивостями:
Щоб показати неперервність відображеження потрібно показати, що є замкненим для будь-якої точки Якщо , то й Це дає Тоді А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.

Посилання[ред. | ред. код]

Література[ред. | ред. код]

  • Васильев В. А. Введение в топологию. — М.: ФАЗИС, 1997. — 132 с. — ISBN 5-7036-0036-7
  • Рохлин В. А., Фукс Д. Б. Начальный курс топологии. Геометрические главы. — М.: Наука, 1977
  • Спеньер Э. Алгебраическая топология. — М.: Мир, 1971