Редагування Границя послідовності

В математиці границею послідовності елементів [[Метричний простір|метричного простору]] або [[Топологічний простір|топологічного простору]] називають елемент того ж простору, який має властивість «притягувати» елементи заданої послідовності. Границею послідовності елементів топологічного простору є така точка, кожен окіл якої містить всі елементи послідовності, починаючи з деякого номера. У метричному просторі окіл визначається через функцію відстані, тому поняття границі формулюється на мові відстаней. Історично першим було поняття [[Границя числової послідовності|границі числової послідовності]], що виникає в математичному аналізі, де воно служить підставою для системи наближень і широко використовується при побудові диференціального й інтегрального числення.

Позначення:

<math>\lim_{n \to \infty} x_n = a</math>

(читається: ''границя послідовності ікс енне при ен, що прагне до нескінченності, дорівнює a''<ref>«Знак „lim“ становить собою перші три букви латинського слова limes&nbsp;— граница, кордон, межа; але читати його треба українською: „границя“»</ref>)

Властивість послідовності мати границю називають збіжністю: якщо у послідовності є границя, то кажуть, що дана послідовність збігається; в іншому випадку (якщо у послідовності немає границі) говорять, що послідовність розбігається. У гаусдорфовому просторі і, зокрема, метричному просторі, кожна підпослідовність збіжної послідовності збігається, і її границя дорівнює границі великої послідовності. Іншими словами, у послідовності елементів гаусдорфового простору не може бути двох різних границь. Може, однак, виявитися, що у послідовності немає границі, але існує підпослідовність (даної послідовності), яка має границю. Якщо з будь-якої послідовності точок простору можна виділити збіжну підпослідовність, то, кажуть, що даний простір має властивість секвенціальної компактності (або просто компактності, якщо компактність визначається виключно в термінах послідовностей).

У топологічних просторах, що задовольняють першій аксіомі зліченності, поняття границі послідовності безпосередньо пов'язано з поняттям граничної точки (множини): якщо у множини є гранична точка, то існує послідовність елементів даної множини, що сходиться до цієї точки. Для довільних топологічних просторів такої послідовності може не існувати.

== Топологія ==

Послідовність точок <math>\{x_n\}</math> [[топологічний простір|топологічного простору]] <math>(X,\;\mathcal{T})</math> називається '''збіжною''' до точки <math>x</math>, якщо для будь-якого [[окіл|околу]] точки <math>x, O(x) </math> існує такий номер <math>N</math>, що всі елементи послідовності починаючи з цього номеру належать околу:

:<math>(\forall n \ge N ) (x_n \in O(x))</math>

Точка <math>x</math> називається '''границею''' послідовності <math>\{x_n\}</math>

Іншими словами, властивість збіжності це властивість утримувати всі точки послідовності на певній відстані від границі, починаючи з деякого номера. Всі [[відкрита множина|відкриті множини]] точки являють собою систему околів цієї точки.

[[Категорія:Границі]]